Интеллектуальные развлечения. Интересные иллюзии, логические игры и загадки.

Четыркин Е. М. Финансовый анализ производственных инвестиций. — М.: Дело, 1998. — 256с.
ISBN 5-7749-0068-1
Книга посвящена анализу производственных инвестиций (долгосрочных капиталовложений в производственный процесс) и прежде всего измерению их эффективности, сравнению производственных проектов и ряду смежных проблем. Основное внимание уделено динамическим методам анализа.
Книга предназначена широкому кругу лиц, изучающих или использующих методы финансово-экономического анализа, а также специалистам и управленцам различных уровней, связанных с инвестиционной деятельностью.
0605010204-079
Ч ——————— Без объявл. ББК 65. 053
79С(03)-98
ISBN 5-7749-0068-1
© Е. М. Четыркин, 1998
© Издательство "Дело", оформление, 1998
ОГЛАВЛЕНИЕ

 o "1-3" h z  ""
ПРЕДИСЛОВИЕ  h
4
 ""
ГЛАВА 1 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ  h
6
 ""
§ 1.1. Потоки платежей и аннуитеты — информационная база финансового анализа  h
6
 ""
§ 1.2. Обобщающие параметры потоков платежей  h
7
 ""
§ 1.3. Расчет обобщающих параметров непрерывных рент  h
14
 ""
§1.4. Эквивалентные потоки платежей  h
17
 ""
§1.5. Определение доходности на основе потока платежей  h
17
 ""
§ 1.6. Современная стоимость потока платежей с учетом риска  h
20
 ""
ГЛАВА 2 МОДЕЛИ ИЗНОСА ОБОРУДОВАНИЯ  h
23
 ""
§ 2.1. Износ оборудования и методы определения сумм амортизации  h
23
 ""
§ 2.2. Линейная модель  h
24
 ""
§ 2.3. Нелинейные методы без начисления процентов на суммы амортизации  h
25
 ""
§ 2.4. Нелинейные методы с начислением процентов на суммы амортизации  h
29
 ""
§ 2.5. Налог на имущество и выбор модели износа  h
32
 ""
§ 2.6. Математическое приложение  h
33
 ""
ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ  h
35
 ""
§ 3.1. Общая постановка задачи. Линейная модель  h
35
 ""
§ 3.2. Нелинейные модели  h
37
 ""
§ 3.3. Барьерные точки для налоговых ставок  h
41
 ""
§ 3.4. Положение барьерных точек при неопределенности в исходных данных  h
46
 ""
§ 3.5. Барьерные точки объемов производства, финансовый подход к их определению  h
48
 ""
§ 3.6. Математическое приложение  h
51
 ""
ГЛАВА 4 ДИВЕРСИФИКАЦИЯ И РИСК  h
52
 ""
§4.1. Риск  h
52
 ""
§ 4.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода  h
53
 ""
§ 4.3. Минимизация дисперсии дохода  h
58
 ""
§4.4. Математическое приложение  h
60
 ""
ГЛАВА 5 ИЗМЕРИТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ. ЧИСТЫЙ ПРИВЕДЕННЫЙ ДОХОД  h
62
 ""
§ 5.1. Характеристики эффективности производственных инвестиций  h
62
 ""
§ 5.2. Чистый приведенный доход  h
68
 ""
§ 5.3. Свойства чистого приведенного дохода  h
72
 ""
§5.4. Математическое приложение  h
75
 ""
ГЛАВА 6 ИЗМЕРИТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ: ВНУТРЕННЯЯ НОРМА ДОХОДНОСТИ И ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ  h
77
 ""
§ 6.1. Внутренняя норма доходности  h
77
 ""
§ 6.2. Срок окупаемости  h
81
 ""
§ 6.3. Индекс доходности  h
85
 ""
§ 6.4. Соотношения относительных измерителей эффективности  h
86
 ""
§ 6.5. Сравнение результатов оценки эффективности  h
89
 ""
§ 6.6. Дополнительные измерители эффективности  h
90
 ""
§ 6.7. Моделирование инвестиционного процесса  h
91
 ""
§ 6.8. Анализ отзывчивости  h
94
 ""
§ 6.9. Математическое приложение  h
96
 ""
ГЛАВА 7 ЛИЗИНГ: РАСЧЕТ ПЛАТЕЖЕЙ  h
98
 ""
§ 7.1. Финансовый и оперативный лизинг  h
98
 ""
§ 7.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту  h
101
 ""
§ 7.3. Методы расчета регулярных лизинговых платежей  h
103
 ""
Регулярные платежи (метод А)  h
104
 ""
Регулярные постоянные платежи (метод Б)  h
109
 ""
§ 7.4. Нерегулярные платежи  h
110
 ""
§ 7.5. Факторы, влияющие на размеры лизинговых платежей  h
111
 ""
ГЛАВА 8 ИНТЕРВАЛЬНОЕ ЭКСПЕРТНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ  h
113
 ""
§ 8.1. Основные элементы методики  h
113
 ""
§ 8.2. Методы определения интервальных прогнозов  h
115
 ""
МЕТОДИКА А. Расчет интервального прогноза отдельной характеристики  h
115
 ""
МЕТОДИКА Б. Прогноз суммы показателей  h
117
 ""
МЕТОДИКА В. Прогноз произведения двух параметров  h
119
 ""
§ 8.3. Математическое приложение  h
120
 ""
ПРИЛОЖЕНИЕ  h
121
 ""
Коэффициенты наращения дискретных рент  h
121
 ""
Таблица 1  h
121
 ""
Коэффициенты приведения дискретных рент  h
125
 ""
Таблица 2  h
125
 ""
Таблица 3 Коэффициенты наращения непрерывных рент (*стр. 235, проверить по первоисточнику)  h
129
 ""
Коэффициенты приведения непрерывных рент  h
132
 ""
Таблица 4  h
132
 ""
Значения функции стандартного нормального распределения  EMBED Equation.3 
  h
136
 ""
Таблица 5  h
136
 ""
Таблица 6 (1А) Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи постнумерандо, полное погашение стоимости  h
136
 ""
Таблица 6 (2А) Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи пренумерандо, полное погашение стоимости  h
137
 ""
Таблица 6 (3А) Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи пренумерандо, остаточная стоимость 10%  h
137
 ""
Таблица 6 (4А) Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи пренумерандо, остаточная стоимость 20%  h
138
 ""
Таблица 6 (1Б) Коэффициенты рассрочки. Годовые платежи постнумерандо, полное погашение стоимости  h
139
 ""
Таблица 6 (2Б) Коэффициенты рассрочки. Годовые платежи пренумерандо, полное погашение стоимости  h
139
 ""
Таблица 6 (3Б) Коэффициенты рассрочки. Годовые платежи пренумерандо, остаточная стоимость 10%  h
140
 ""
Таблица 6 (4Б) Коэффициенты рассрочки. Годовые платежи пренумерандо, остаточная стоимость 20%  h
141

ПРЕДИСЛОВИЕ
Что выгоднее — считать или не считать?
И во всех случаях выходит, что выгоднее первое,
зато доступнее второе.
Л. Лиходеев
Инвестиции по направлению вложений денежных средств делятся на две группы — чисто финансовые операции (выдача кредитов, покупка ценных бумаг, инвестиции в различные финансовые инструменты и т. д.) и производственные инвестиции — вложения в создание, реконструкцию или перепрофилирование производственных предприятий. Эти направления различаются не только по своему содержанию, но и по целям и технике исполнения количественного финансового анализа. Данная книга посвящена анализу только производственных инвестиций, главным образом измерению их эффективности, сравнению производственных проектов и ряду смежных проблем.
В производственных инвестициях сталкиваются со значительной неопределенностью применяемых данных — как отдачи от капиталовложений, так и размеров и сроков самих инвестиций. Фактически в таких расчетах в большинстве случаев используются не столько реальные или оговоренные в контрактах данные, сколько ожидаемые их значения, полученные в лучшем случае в ходе технико-экономического анализа для некоторых более или менее правдоподобных гипотез реализации проекта. Часто прибегают и к экспертным оценкам. Отмеченная неоднозначность исходных данных и результатов, полученных на их основе, прежде всего связана с долгосрочностью осуществления инвестиционного проекта и множественностью влияющих на конечный результат факторов. Более того, само воздействие этих факторов изменяется во времени.
Под инвестициями в книге понимаются долгосрочные капиталовложения в производственный проект. Причем анализируется лишь один аспект этого процесса — финансовый. Никакие другие (социальные, экологические, политические и т. д.) здесь не затрагиваются. Особенности производственных инвестиций как объекта анализа и разнообразие его возможных целей привели к необходимости разработки целого ряда методик, которые можно разделить на две большие группы. К первой относятся ''классические" методы, в которых оперируют стоимостными показателями без учета того, когда соответствующие денежные средства были выплачены или получены. Здесь применяются в основном данные бухгалтерского учета. Ко второй группе относятся методы, базирующиеся на приведении денежных характеристик к одному (обычно предшествующему) моменту времени путем их дисконтирования по некоторой процентной ставке. Эти методы используют специально сформированные данные. Если первый подход, который можно назвать статическим, или бухгалтерским, решает ряд частных задач без учета фактора времени, то второй, динамический, или дисконтный, позволяет выполнить более общий анализ, в том числе определять различные показатели эффективности инвестиционных проектов с учетом специфики распределения затрат и доходов во времени, сравнивать по эффективности несколько проектов и т. д. Основное внимание в книге уделено динамическим методам анализа. Эти методы распространились сравнительно недавно. Еще в 60-70-х годах в западной финансовой литературе начали интенсивно обсуждать способы сравнения инвестиционных проектов на основе дисконтирования показателей затрат и поступлений.
Содержащийся в книге материал по существу является развитием одной из тем, рассмотренных в нашей предыдущей работе, на которую для сокращения изложения будем неоднократно ссылаться. Наличие последней позволяет обойтись без изложения элементарных сведений, относящихся к финансовой математике, и обсуждения некоторых простых методов количественного анализа. Предлагаемая книга о производственных инвестициях, естественно, базируется на тех же исходных положениях, что и в указанной работе, основным из которых является принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, или, другими словами, зависимости ценности денег от времени (time-vaue of money). Долгосрочный характер производственных инвестиций многократно усиливает важность применения этого принципа.
Книга в основном имеет методологическую направленность. Центральной темой в ней являются характеристика различных методик оценивания финансовой эффективности производственных инвестиций и обсуждение структуры математической модели, описывающей инвестиционные затраты в производственный проект и отдачу от него. Особое внимание уделено факторам, влияющим на эффективность, и анализу отзывчивости эффективности на изменение ключевых параметров модели (гл. 5, 6). Поскольку поставки оборудования в порядке финансового лизинга начали практиковаться в нашей стране, автор счел целесообразным посвятить методике лизинговых расчетов отдельную главу (гл. 7). Для того чтобы упомянутые проблемы и соответствующие расчетные методы были более понятными, в первых главах книги приводятся сведения, которые непосредственно не относятся к финансовому анализу производственных инвестиций, однако широко в нем используются. Более того, без понимания обсуждаемых в первых четырех главах проблем нельзя овладеть методикой анализа производственных инвестиций.
Любые виды инвестиций, в том числе и в производство, с финансовой точки зрения охватывают два этапа — вложения и отдачу от них. Объектом анализа могут быть как тот или другой этап осуществления проекта, так и оба вместе. Информационной базой для анализа указанных этапов являются соответствующие потоки платежей, поэтому обсуждение проблем финансового анализа начнем с краткой характеристики таких потоков. Этому посвящена первая глава, которая имеет в основном справочный характер и содержит развернутый набор методик для определения основных обобщающих характеристик различных видов потоков платежей. Новым здесь является анализ рент, члены которых задаются статистическими распределениями. Во второй главе приводится сжатое описание методов начисления износа основных средств. Наряду с практикуемым у нас линейным методом начисления амортизации здесь рассматриваются различные применяемые за рубежом методы, позволяющие гибко учитывать те или иные особенности производственного процесса или требования инвестора. Особое внимание уделено проблеме налогообложения и начисления износа производственного имущества.
Далее читателю предлагается глава, посвященная одному из самых распространенных инструментов современного финансового анализа — методу барьерных точек. Этот анализ известен у нас только для одного частного случая — линейного. В третьей главе этот метод распространяется и на нелинейные зависимости. Особое внимание обращено на анализ барьерных точек в условиях неопределенности исходных данных.
Многие необходимые для анализа данные, как известно, обеспечиваются разработкой экспертных оценок. Причем последние для большей надежности анализа получают в виде интервалов значений соответствующих параметров, связывая с некоторыми вероятностями их реализации. Эта проблема обсуждается в последней главе книги. Содержание глав и их последовательность, как полагаем, подчинены определенной внутренней логике.
Некоторые математические доказательства, которые или представляют самостоятельный интерес, поскольку они не встречаются в специальной финансовой литературе, или, как полагает автор, имеют познавательную или методологическую ценность, вынесены в Математические приложения к соответствующим главам. В Приложении содержится ряд таблиц коэффициентов и других показателей, необходимых для быстрого выполнения расчетов.
ГЛАВА 1 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
Проигрыш чей-то, конечно, чей-то выигрыш.
Знали это при халдеях еще.
Даже больше: выигрыш чей-то — проигрыш чей-то.
Халдеи это тоже соображали.
К. Сэнберг
§ 1.1. Потоки платежей и аннуитеты — информационная база финансового анализа
Инвестиции в производство обычно предполагают не отдельные или единовременные платежи, а некоторую их последовательность во времени, например погашение задолженности за купленное в рассрочку оборудование, периодическое поступление доходов от инвестиций и т. д. Такие последовательности, или ряды, платежей назовем потоками платежей, а отдельный элемент этого ряда — членом потока. Членами потока могут быть как положительные (поступления денег), так и отрицательные (выплаты) величины. Соответствующие платежи производятся через равные или неравные интервалы времени. В западной финансовой литературе в близком смысле применяется термин cash fows (буквально — потоки наличности). Введенное сравнительно недавно в практику финансового количественного анализа (точнее, в анализ производственных инвестиций) понятие "поток платежей" заметно расширило его рамки и возможности. Формирование потока платежей — ключевой этап разработки бизнес-плана и последующего финансового анализа.
Термин "поток платежей" в финансовом анализе применяется в общем и специальном смысле. В первом случае членами потока могут быть любые стоимостные величины, во втором — специально сформированные для анализа производственных инвестиций показатели. Примером потока первого вида может служить последовательность платежей, связанных с приобретением облигации и получением дохода от нее. Поток в этом случае состоит из цены приобретения, выплат купонного дохода и суммы погашения облигации. Специальным потоком платежей является последовательность, члены которой характеризуют, с одной стороны, затраты на капитальные вложения, с другой — чистый доход от их производственного использования. Ограничимся пока этими сведениями. (Более подробно о формировании специальных потоков платежей см.  "_ГЛАВА_5_ИЗМЕРИТЕЛИ"
гл. 5.)
Финансовые ренты. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой (rent), а иногда аннуитетом (annuity). Строго говоря, последнее наименование предполагает только ежегодные платежи, однако на практике оно применяется более широко — для обозначения любого вида регулярной последовательности платежей. Использование платежей в виде финансовой ренты существенно упрощает количественный их анализ, дает возможность применять стандартные формулы и таблицы значений, необходимых для расчетов ряда коэффициентов (см. Приложение).
Рента характеризуется следующими основными параметрами: член ренты (rent) — размер отдельного платежа, период ренты (rent period, payment period) — временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты (term) — время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка (interest rate). Дополнительные условия и параметры: число платежей в году, способ и частота начислений процентов.
В практике применяют разные по своим условиям ренты. Рассмотрим классификации по основным признакам.
По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые и р-срочные (р — количество выплат в году). Эти виды рент называют дискретными. В практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные, т. е. платежи, производимые в бесконечно малые отрезки времени. Заметим, что непрерывный, постоянный поток платежей можно трансформировать в дискретный поток с платежами в середине периодов. Такое преобразование практически не повлияет на точность результатов финансового анализа.
По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми платежами) и переменные. Члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии, или несистематично (задаются таблицей). Нельзя не упомянуть о еще одном виде рент, с которым часто сталкиваются на практике при анализе производственных инвестиций. В таких рентах их члены задаются не конкретными величинами, а их статистическими распределениями. Этот вид рент ранее не рассматривался в классическом финансовом анализе.
По вероятности выплат ренты делятся на верные (annuity certain) и условные (contingent annuity). Верные ренты подлежат безусловной уплате. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Условные ренты (условные аннуитеты) применяются в страховых расчетах.
По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, т. е. ограниченные по срокам ренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные, ренты (perpetuity). Использование последних вместо ограниченных с большим сроком рент обычно упрощает расчеты, не приводя к заметной потере точности получаемых экономических параметров.
По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или дата его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные (deferred annuity).
Важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными или постнумерандо (ordinary annuity), если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо (annuity due). Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.
Например, если ожидается отдача в постоянном размере в течение 10 лет спустя 2 года после завершения инвестиций, то такой поток поступлений представляет собой постоянную, отложенную, ограниченную ренту.
§ 1.2. Обобщающие параметры потоков платежей
В подавляющем числе практических случаев финансовый анализ предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик потока платежей: наращенной суммы и современной стоимости. Наращенная сумма (amount of cash fows) — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами. Под современной (или текущей) стоимостью потока платежей (present vaue of cash fows) понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока потока платежей или иной упреждающий момент времени. Вместо термина "современная стоимость" в зависимости от контекста также употребляют термины "капитализированная стоимость" или "приведенная величина".
Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием членов потока или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т. д. В свою очередь, современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т. п. Из двух указанных обобщающих характеристик наибольшую роль в анализе производственных инвестиций играет современная стоимость потока платежей. Это объясняется прежде всего тем, что современная стоимость представляет собой "свертку" — обобщение в виде одного числа любой последовательности платежей и позволяет сравнивать потоки с различными сроками. Современная стоимость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток.
Общий метод расчета наращенной суммы и современной стоимости потока платежей. Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей Rt, выплачиваемых спустя время nt после некоторого начального момента времени, общий срок выплат составляет п лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i, то, обозначив искомую величину через S, получим
 EMBED Equation.3 
. (1.1)
Современную стоимость такого потока также определим прямым счетом как сумму платежей, дисконтированных на начало срока. Обозначив эту величину А, получим
 EMBED Equation.3 
 (1.2)
где vnt — дисконтный множитель по ставке i.
 EMBED Equation.3 
. (1.3)
Нетрудно обнаружить, что между величинами А и S существует функциональная зависимость. В самом деле, дисконтируя сумму S, получим
 EMBED Equation.3 
. (1.4)
Наращивая сумму А по той же ставке, находим

(1.5)

ПРИМЕР 1
Контракт предусматривает следующий порядок использования кредитной линии: 01.07.96 г. — 5 млн. руб., 01.01.97 г. — 15 млн. руб., 01.01.99 г. — 18 млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало 2000 г. и современную стоимость этого потока на начало срока при условии, что проценты начисляются по ставке 20% годовых.
Находим
S = 5 х 1,23,5 +15 х 1,23 +18 х 1,2 = 56,985 млн. руб.
По этим же данным определим современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. При прямом счете получим
A = 5 + 15х1,2-0,5+18х1,2-2,5 = 30,104 млн. руб. или по формуле (1.5)
А = 56,985 х 1,2-3,5 = 56,985 х 0,52828 = 30,104 млн. руб.
Забегая вперед, заметим, что в практике анализа производственных инвестиций занял видное место показатель, названный чистым приведенным доходом (net present vaue, NPV). Он представляет собой современную стоимость потока платежей, характеризующего инвестиционный процесс в целом. Таким образом, NPV равен величине А, определенной по формуле (1.2). Поскольку, как было сказано выше, члены такого потока могут быть как положительными, так и отрицательными величинами, то NPV также может иметь тот или другой знак. Отрицательная величина означает, что получаемые доходы с учетом временного фактора не окупают инвестиционные затраты при заданном уровне процентной ставки. Ограничимся пока данным замечанием. (Подробно сущность этого важнейшего показателя и методы его расчета для различных видов потоков платежей рассмотрены в гл. 5.)
Формулы для расчета обобщающих параметров постоянных дискретных рент. Для потоков платежей в виде постоянных рент расчеты современных стоимостей и наращенных сумм можно существенно упростить, применяя стандартные формулы. При их записи используем следующие обозначения:
А — современная стоимость ренты;
S — наращенная сумма ренты;
R — член ренты (размер платежа);
п — срок ренты;
р — число выплат в году;
i — процентная ставка;
v — дисконтный множитель по ставке i (1.3).
Ниже приводятся формулы для наиболее распространенных видов рент. Во всех случаях предполагаются сложные процентные ставки.
Постоянная годовая рента постнумерандо. Современная стоимость ренты:

(1.6)
Множитель, на который умножается R, называется коэффициентом приведения ренты, обозначим его an;i:

(1.7)
Значения an;i табулированы. Краткая таблица коэффициентов приведения имеется в Приложении ( "_Таблица_2"
табл. 2).
Отметим некоторые свойства этого коэффициента. Чем выше значение i, тем меньше его величина (рис 1.1). При i = 0 an;i = п. В свою очередь, при увеличении срока ренты величина an;i растет и стремится к некоторому пределу (рис 1.2). При п = ? предельное значение коэффициента составит:

(1.8)
Коэффициент приведения (1.8) применяется при расчете современной стоимости вечной ренты.
Наращенная сумма постоянной ренты определяется по формуле

(1.9)
Множитель, на который умножается R, называется множителем наращения ренты. Обозначим его sn;i:

(1.10)
Значения этого множителя нетрудно табулировать для необходимых диапазонов ставок и сроков — см. Приложение (табл. 1).

ПРИМЕР 2
Годовая рента постнумерандо R = 4 млн. руб., п = 5. При дисконтировании по сложной ставке 18,5% годовых получим:


Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение 5 лет.
При наращении всех платежей по той же ставке имеем


или согласно (1.5) получим: S = 12,368 х 1,1855 =28,900.
Решение этой же задачи, но методом прямого счета приведено в следующей таблице.
tRvtRvt140,84393,3755240,71212,8484340,60092,4038440,50712,0286540,42791,7118Итого——12,3680
ПРИМЕР 3
Воспользуемся данными примера 2, но при условии, что процентная ставка установлена на уровне 10%. Находим по табл. 1 и 2 Приложения следующие значения коэффициентов наращения и приведения:
а5;10= 3,79079; s5;10 =6,1051, откуда А = 4 х 3,79079 = 15,163 млн. руб. и S = 4 x 6,1051 = 24,420 млн. руб.

Постоянная р-срочная рента постнумерандо. Приведем формулы для двух основных случаев.
а) Члены ренты выплачиваются р раз в году, проценты начисляются один раз в конце года:


где R — годовая сумма платежей, каждый раз выплачивается сумма R/p.
б) Число выплат и начислений процентов в году равно р; используется номинальная годовая процентная ставка (nomina rate) j:


В этом случае взаимозависимость наращенной суммы и современной ее стоимости имеет вид:

(1.15)
Нетрудно догадаться, что, чем чаще происходят платежи, тем больше наращенная сумма и современная стоимость ренты. Заметим, что формулы (1.6) и (1.9) применимы и для определения современной стоимости p-срочной ренты для варианта б. В этом случае (например, при погашении ипотечного кредита) переменная п означает общее число периодов, i — ставку за период (но не годовую ставку), R — сумму разового платежа. Номинальная процентная ставка в этом случае составит: j = i x p, а годовая эффективная ставка (effective rate) находится как (1 + i)p.

ПРИМЕР 4
В условия ренты примера 2 внесем изменение. Пусть теперь рента выплачивается поквартально, р = 4. Для варианта а (начисление процентов один раз в году) находим:


Для варианта б по формулам (1.13) и (1.14) получим:




Аналогичные результаты находим по формулам (1.6) и (1.9) при условии, что п = 20, i = 18,5/4 = 4,625%, R = 4/4 = 1. Например, современная стоимость такой ренты по этим данным составит:

Постоянные ренты пренумерандо и ренты с платежами в середине периодов. Напомним, что ренты пренумерандо предполагают выплаты в начале периодов. В этом случае каждый платеж "работает" на один период больше, чем у рент постнумерандо, обобщающие показатели больше аналогичных характеристик рент постнумерандо пропорционально величине соответствующего множителя наращения за один период. Так, для годовых рент такой множитель равен (1 + i), откуда вместо (1.6) и (1.9) имеем:
A = Ran;i(1 + i); S = Rsn;i(1 + i).
Для р-срочных рент (вариант а) корректировочный множитель наращения равен (1 + i)1/p, а для варианта б он имеет вид: (1 + j/p).

ПРИМЕР 5
Пусть рента примера 4 выплачивается не в конце, а в начале кварталов. Тогда обобщающие параметры увеличатся в 1,1851/4 = = 1,04335 раза (вариант а) и в
раза (вариант б).
Для годовых рент с платежами в середине периодов получим:

Формулы для производных расчетов. Выше были приведены формулы для расчета основных стоимостных характеристик постоянных рент — А и S. В ряде ситуаций эти величины оказываются заданными и необходимо рассчитать какой-либо неизвестный параметр. Что касается параметров R и п, то они определяются достаточно просто, чего нельзя сказать о расчете процентной ставки i.

ПРИМЕР 6
Долг в сумме 100 млн. руб. погашается постоянной годовой рентой в течение 5 лет. На остаток долга начисляются проценты по ставке 20% годовых. Приравняв сумму долга современной стоимости погасительных платежей, можно записать 100 = Ra5;20.
Откуда следует, что размер ежегодного погасительного платежа составит R = 100/а5;20. Коэффициент приведения данной ренты находится как

откуда искомая сумма


Определить значение процентной ставки по остальным параметрам ренты не так просто, как это может показаться на первый взгляд. Для этого прибегают к каким-либо приближенным методам (линейная интерполяция), различным итерационным процедурам (метод Ньютона - Рафсона, метод секущей и т. д.). На компьютере легко реализуется метод поразрядного приближения.

Формулы для расчета обобщающих параметров переменных рент. Приведем формулы для расчета обобщающих характеристик наиболее распространенного вида переменных рент — рент с постоянным изменением их членов.
Годовая рента с постоянным темпом изменения. Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои размеры во времени с постоянным относительным приростом. Например, ожидается, что в пределах некоторого интервала времени отдача от инвестиций будет увеличиваться с постоянным темпом. Поток таких платежей здесь следует в геометрической прогрессии и состоит из членов R,Rq,Rq2,...,Rqn-1 (где q — знаменатель прогрессии, характеризует темп роста). Если этот ряд представляет собой ренту постнумерандо, то сумма дисконтированных членов такого потока

(1.16)
Пусть теперь q = 1 + k, где k — темп прироста платежей. Темп прироста может быть как положительным (k > 0), так и отрицательным (k < 0). В итоге

(1.17)
Для сокращения дальнейшей записи обозначим дробь, на которую в данной формуле умножается R, через а. При k = 0 величина а равна коэффициенту приведения постоянной ренты, при k = i имеем а = п. Графическая иллюстрация зависимости а от темпа прироста при условии, что остальные параметры ренты постоянны, приведена на рис. 1.3.


Наращенная сумма такой ренты

(1.18)

ПРИМЕР 7
Условия ренты постнумерандо: R = 15 млн. руб., п = 10, i = 20% годовых, члены ренты увеличиваются каждый год на 12% (k = 0,12). В этом случае члены ренты имеют размеры: 15; 16,800; 18,816; ...; 41,596. Обобщающие характеристики для указанных условий:




Допустим теперь, что платежи уменьшаются во времени с темпом прироста минус 10% в год (А = -0,1), тогда

р-срочная рента с постоянным темпом изменения. Пусть платежи производятся не один, а р раз в год постнумерандо, проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае последовательность платежей представляет собой геометрическую прогрессию R, Rq,..., Rqnp-1, где q — темп роста за период. Обобщающие параметры такой ренты находятся по следующим формулам:

ПРИМЕР 8
Пусть, как и в примере 7, R = 15, п = 10, i = 20%. Положим, что платежи увеличиваются с каждым полугодием на 6%. Члены ренты представляют ряд: 15; 15,900; ...; 45,384. Тогда современная стоимость и наращенная сумма составят:

§ 1.3. Расчет обобщающих параметров непрерывных рент
Во всех рассмотренных выше рентах предполагалось, что члены потока платежей поступают дискретно — через фиксированные интервалы времени. Вместе с тем иногда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный. Предположение о непрерывности в определенных условиях увеличивает возможности количественного анализа, особенно анализа сложных схем долгосрочных производственных инвестиций.
Постоянная непрерывная рента. Приведем формулы для расчета современной стоимости и наращенной суммы постоянной непрерывной ренты при условии, что применяется годовая дискретная процентная ставка. Найдем коэффициент приведения такой ренты, обозначим его
. Очевидно, что искомый показатель является пределом коэффициента приведения р-срочной ренты при
. Получим:

(1.21)
В свою очередь, коэффициент наращения непрерывной ренты имеет вид:

(1.22)
Переход от дискретных взносов постнумерандо к непрерывным увеличивает соответствующие обобщающие показатели и коэффициенты приведения и наращения рент в i/n(1 + i) раз:

ПРИМЕР 9
Ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых составят 1 млрд. руб. в год, продолжительность разработки — 10 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохода при дисконтировании по ставке 10% составит:

Важно отметить, что равномерная и непрерывная выплата годовой суммы примерно равнозначна (по влиянию на величины А и S) разовой выплате этой суммы в середине года. Иначе говоря, замена непрерывной постоянной ренты на более привычную дискретную с отнесением платежей к середине периодов мало повлияет на результаты расчетов. Обобщающие параметры ренты в этом случае рассчитываются по формулам, полученным для дискретных рент с учетом множителя (1 + i)1/2.

ПРИМЕР 10
Заменим в примере 9 непрерывную ренту на дискретную с отнесением членов ренты к серединам годовых интервалов. В этом случае
A = 1000а10;10 х 1,11/2 = 1000 х 6,14457 х1,10,5 = 6444,48 млн. руб.
Расхождение с точным ответом обнаруживается только в четвертой цифре.

Заметим, что формулы (1.21), (1.22) предполагают непрерывное поступление платежей и дискретное начисление процентов.
Вероятно, более "естественным" является положение, когда оба процесса рассматриваются как непрерывные, т. е. поступления платежей и начисления процента происходят в бесконечно малые отрезки времени.
Чтобы методы работы с рентами, предусматривающими непрерывное начисление процентов, были более понятными, напомним, как начисляются непрерывные проценты. Формулы наращения и дисконтирования в этом случае записываются следующим образом:


где
— ставка непрерывных процентов (force of interest). В русской финансовой литературе эта величина получила название сила роста;
е — основание натуральных логарифмов.
Между дискретными и непрерывными ставками, как известно, существуют зависимости, позволяющие определить эквивалентные размеры ставок, т. е. ставок, дающих одинаковые финансовые результаты:


Из выражения (1.24) следует


Перепишем теперь формулы (1.21) и (1.22), использовав эти соотношения. Получим


Формулы (1.21), (1.22) и (1.25), (1.26) дают тождественные результаты только в том случае, когда непрерывные и дискретные ставки являются эквивалентными.

ПРИМЕР 11
Пусть в примере 9 дисконтирование осуществляется по силе роста, равной 10%, тогда, используя (1.25), получим

Сила роста, эквивалентная дискретной ставке 10%, составит:
, или 9,531%. Откуда
т. е. получен тот же результат, что и в примере 9.

Непрерывно изменяющийся поток платежей. Выше предполагалось, что годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единственно возможным. На практике, особенно при анализе инвестиций в производство, поток платежей может существенно изменяться во времени, в том числе и следуя какой-либо закономерности, например если ожидается, что в течение первых трех лет работы произойдет плавное и непрерывное увеличение выпуска продукции с постоянным темпом прироста.
Если поток платежей непрерывен и описывается функцией rt = f(t), то общая сумма поступлений за время п равна
. В этом случае современная стоимость и наращенная сумма (при начислении процентов используется процентная ставка в виде силы роста) находятся как

Причем зависимость между А и S можно представить как

(1.27)
Чтобы рассчитать величины А и S, необходимо определить конкретный вид функции изменения платежей и значения ее параметров. Рассмотрим методы расчета современных стоимостей только для двух видов функций — линейной и экспоненциальной.
Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функция такого потока
Rt =R0+at,
где R0 — начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу времени, в котором измеряется срок ренты;
а — прирост в единицу времени.
Современная стоимость получена с помощью интегрирования функции потока платежей:


где
— коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты (см. (1.25)).

ПРИМЕР 12
Намечается ежегодно в течение трех лет увеличивать выпуск продукции на 1 млрд. руб. Базовый уровень выпуска — 10 млрд. руб. Необходимо определить суммарный стоимостной объем выпуска с начислением процентов — сила роста 8%.
Сначала определим современную стоимость данного непрерывного потока поступлений (см. (1.28)):


Коэффициент приведения составит:


Таким образом, А = 30,512 млн. руб.
Затем на основе (1.27) находим наращенную сумму:


Чтобы методика определения современной стоимости непрерывной ренты была более наглядной, решим поставленную задачу иным способом, предварительно трансформировав непрерывную ренту в дискретную с платежами в середине периодов. Получим такую последовательность: 10,5; 11,5; 12,5. Затем определим процентную ставку, эквивалентную силе роста 0,08. Находим
i = е0,08-1=0,083287.
Искомая величина составит:
А = 10,5 х 1,08329-0,5 + 11,5 х ,08329-1,5 + 12,5 х 1,08329-2,5 = = 30,522.
Как видим, погрешность незначительна.

Экспоненциальный рост платежей. Поток платежей описывается экспоненциальной функцией
Rt = R х еgt.
Назовем параметр g непрерывным темпом прироста платежей. Между принятым в статистике дискретным темпом прироста k и непрерывным существует следующая зависимость:
g = n( + k).
Современная величина такой ренты находится следующим образом:

(1.29)
В знаменателе формулы (1.29) фигурирует разность параметров, характеризующих непрерывные процессы. Эту разность легко найти с помощью дискретных параметров роста платежей и начисления процентов, которые обычно и задаются в условиях формирования потока платежей, а именно

ПРИМЕР 13
Ожидается, что прирост доходов на протяжении трех лет составит 5% в год (k = 0,05). Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если R = 100, i = 7%, п = 3 года?
Из условий задачи следует:


Таким образом, на основе (1.29) получим:

§1.4. Эквивалентные потоки платежей
В финансовом анализе важную роль играет принцип эквивалентности, согласно которому платежи считаются эквивалентными, если их современные стоимости одинаковы. Сказанное справедливо и применительно к потокам платежей. Так, например, нерегулярный поток платежей и постоянная рента оказываются эквивалентными, если имеет место равенство


Коль скоро потоки платежей являются эквивалентными, замена одного потока другим не изменяет финансовое положение участвующих сторон. Пусть в контракте оговорен поток поступлений со значительными колебаниями их размеров. Возникла необходимость сравнения с конкурирующими условиями, предусматривающими выплату ренты с постоянными членами. Сроки и остальные условия у двух потоков платежей одинаковы. Определим неизвестный размер члена постоянной ренты R.
Напомним, что
. Таким образом:


Как видим, R представляет собой среднюю арифметическую взвешенную с весами, равными дисконтным множителям. Пусть заменяющая рента в рассмотренном случае имеет срок n1, отличающийся от п. Тогда


Аналогичным образом можно определить любой другой параметр заменяющего эквивалентного потока платежей. Заметим, что заменяющий поток может отличаться от заменяемого по всем параметрам и по виду. Например, дискретная рента может быть заменена непрерывной и т. д.

§1.5. Определение доходности на основе потока платежей
В § 1.2 мельком была затронута проблема определения размера процентной ставки по остальным параметрам потока платежей. Вернемся к этой проблеме применительно к определению доходности по основным инвестиционным схемам. Остановимся на трех из них:
мгновенные (разовые) инвестиции, отдача в виде регулярного или нерегулярного потока платежей;
инвестиции в финансовый инструмент (облигацию), постоянная отдача (купонный доход) и возврат номинала в конце срока;
инвестиции в финансовый инструмент (долговое обязательство, кредит), последовательное обслуживание долга (равные суммы погашения основного долга и периодическая выплата процентов).
Во второй и третьей схемах предусматриваются два источника дохода: доход от прироста капитала в виде разности между суммой номинала инструмента и его ценой (capita gain) и начисленные проценты.
Условия перечисленных схем можно кратко записать как


где D — размер инвестиций;
Rt, R — члены потока поступлений;
K — цена (или курс) финансового инструмента;
d — размер разового погашения долга;
It, — сумма процентов за период.
Приведем уравнения эквивалентности, с помощью которых определяются показатели доходности (в виде процентных ставок) соответствующих инвестиционных схем. Для первой схемы имеем:

(1.30)
где дисконтные множители определяются по искомой процентной ставке j.

ПРИМЕР 14
Сумма мгновенных инвестиций — 100, срок — 5 лет, поступления — в конце каждого года. Как видно из расчета, представленного в нижеследующей таблице, эквивалентность инвестиций и отдачи имеет место в случае, когда дисконтирование производится по ставке 21,46%. Последний показатель характеризует доходность финансовой операции.
tRtvtRtvt1200,8233216,466332300,6778520,335493600,5580833,485094400,4594818,379215300,3783011,34893Итого——100,01500Если отдача постоянна, то вместо (1.30) имеем
D = Ran;j. (1.31)
Величина у рассчитывается по коэффициенту приведения постоянной ренты:


Заметим, что положительное и отличное от нуля значение показателя доходности имеет место в случае, когда an;j < п . Соответственно R/D > п.
Вторая из упомянутых инвестиционных схем пригодна для инвестиций в облигации с периодическими выплатами постоянного купонного дохода и погашением обязательства в конце срока по номиналу. Для этих условий получим следующее уравнение эквивалентности при условии, что купоны погашаются ежегодно:
P = Ran;j+Nvn, (1.32)
где R = Ni;
i — уровень купонного дохода;
Р — цена облигации;
N — номинал.
Если под Р подразумевается курс облигации (P = K), то N= 100.
Для оценки доходности можно применить и приближенную формулу

(1.33)
В формуле (1.33) средний годовой доход от облигации соотносится с ее ценой, средней за весь срок. За простоту расчета, впрочем, приходится платить потерей точности оценки.

ПРИМЕР 15
Облигация со сроком 5 лет, проценты по которой выплачиваются один раз в год по норме 8%, куплена по курсу 97. Запишем уравнение эквивалентности (1.32) и разделим обе его стороны на 100:
0,97 = (1 + j)-5 + 0,08 a5;j.
С помощью линейной интерполяции находим j = 8,77%. Для проверки рассчитаем курс на основе полученной ставки. Находим


Как видим, расчетный курс весьма близок к рыночному 97. Приближенное решение по (1.33) дает


что соответствует рыночному курсу 0,74. Погрешность заметно выше, чем при использовании линейной интерполяции.
Уравнение эквивалентности для третьей схемы (ежегодные выплаты сумм обслуживания долга без льготного периода) имеет вид:

(1.34)
где
— годовой размер погашения долга;
Dt — остаток долга на начало года t, D1 = D, Dt = Dt-1- d.
Для быстрой ориентации в сложившейся ситуации иногда прибегают к приближенному методу оценки доходности как суммы двух составляющих:


где h — доходность от разности номинала и цены;
i — процентная ставка по условиям финансового инструмента.
При определении первого элемента этой суммы фактический процесс последовательного погашения долга условно заменяется разовым погашением со средним сроком выплаты. Из равенства
K = DvT
следует, что


где Т — средний срок.
Средний срок в данной ситуации определяется элементарно: Т =п/2 . Наличие льготного периода (без погашения основного долга) увеличивает средний срок на соответствующую величину.

ПРИМЕР 16
Финансовый инструмент (номинал 100) куплен за 75. Погашение долга в течение 5 лет равными платежами, проценты по ставке 10% годовых. Какова финансовая эффективность операции?
Находим
. Таким образом,

Точная величина доходности равна 23,11%. Расчет современной стоимости поступлений по этой ставке представлен в таблице, в которой символом Rt обозначена ежегодная сумма обслуживания долга.
tDtRtvtRtvt1100300,90909124,368450280280,82644618,474440360260,75131513,934560440240,68301310,448110520220,6209217,779578Итого———75,005150С увеличением отклонения K от 100 растет погрешность оценки. Аналогичное можно утверждать и по поводу влияния процентной ставки и срока погашения долга.

§ 1.6. Современная стоимость потока платежей с учетом риска
Количественный анализ потока платежей, в том числе расчет современной стоимости, обычно предполагает фиксированность размеров всех его членов и безусловность их выплат (см. расчетные формулы в § 1.2 и 1.3). В инвестиционных проектах, однако, часто сталкиваются со случаями, когда размер члена потока платежей является случайной переменной (размер&heip;