Интеллектуальные развлечения. Интересные иллюзии, логические игры и загадки.

Александр Леонидович Никифоров
Логика

Логика

Предисловие

Биологический вид, к которому мы принадлежим, называется «homo sapiens» – «человек разумный» в переводе с латинского. Среди наших предков был «человек умелый», начавший изготавливать первые каменные орудия; «человек выпрямленный», питекантроп; неандерталец, непосредственный предшественник современного человека. Нашей отличительной особенностью по сравнению с животными и предшественниками является наличие разума. Но что такое «разум»? Оказывается, до сих пор ответить на этот вопрос чрезвычайно трудно. Мы гораздо больше знаем о строении вещества, о звездах и галактиках, о растениях и животных, чем о наиболее важном свойстве человека.
Но есть одна из сторон разума – важнейшая, быть может, – которая исследована достаточно хорошо. Это – мышление, т.е. способность ориентироваться в окружающем мире, рассуждать, строить объяснения тех или иных явлений, делать предсказания. Наука о мышлении называется логика.
«Когда я принимаю в соображение, – писал сто лет назад английский экономист, философ и логик Джон Стюарт Милль, – как проста теория умозаключения, какого небольшого времени достаточно для приобретения полного знания ее принципов и правил и даже значительной опытности в их применении, я не нахожу никакого извинения для тех, кто, желая заниматься с успехом каким-либо умственным трудом, упускает это изучение. Логика есть великий преследователь темного и запутанного мышления; она рассеивает туман, скрывающий от нас наше невежество и заставляющий нас думать, что мы понимаем предмет, в то время как мы его не понимаем. Я убежден, что в современном воспитании ничто не приносит большей пользы для выработки точных мыслителей, остающихся верными смыслу слов и предложений и находящихся постоянно настороже против терминов неопределенных и двусмысленных, как логика».
Да, разумом нужно уметь пользоваться, его нужно и можно развивать. И этому учит единственная из наук – логика. Поэтому знакомство с ней необходимо любому человеку. Слон сильнее человека, лошадь – быстрее, орел видит дальше и лучше. Но разум позволяет человеку неизмеримо превзойти их всех и в силе, и в быстроте, и в зоркости.

Глава 1
Предмет и значение логики

Что изучает логика

Конечно, предмет всякой науки становится вполне ясным лишь в процессе знакомства с самой наукой, поэтому все предварительные определения этого предмета остаются неполными и не очень ясными. Тем не менее с чего-то же надо начинать.
Логика есть наука о формах и законах познающего мышления.
Логика изучает мышление, но не всякое, а лишь те мыслительные процессы, которые направлены на обнаружение и обоснование истины, на решение некоторой задачи, на поиск путей преодоления тех или иных трудностей, встающих перед нами как в профессиональной деятельности, так и в повседневной жизни. Иногда утром, посмотрев на себя в зеркало, вы можете подумать: «У…у, какая у меня сегодня противная физиономия!» Таких мыслительных процессов логика почти не касается, изучение их – дело психологии или даже психиатрии. Логику интересуют прежде всего познавательные процессы. Ну а что такое «познающее мышление»? Попробуйте ответить на несколько простых вопросов.
У меня в кармане две монеты, которые в сумме дают 15 копеек, но одна из этих монет не пятачок. Какие это монеты? Вы начинаете думать: 7 и 8 копеек? Таких монет не существует. Может быть, 2, 3 и 10 копеек? Но тогда получается три монеты, а их всего две. Наконец, приходит мысль: одна из них не пятачок, но другая-то может быть пятачком! Ответ: 10 и 5 копеек.
Ночной сторож умер не ночью, а днем. Назначат ли ему пенсию? Вы начинаете вспоминать, что вам известно о пенсионном законодательстве, затем вдруг спохватываетесь: но ведь он умер, зачем же ему пенсия? Ответ: нет, не назначат.
Может ли порядочный человек жениться на сестре своей вдовы? Слово «порядочный» привлекает ваше внимание и вы задумываетесь: этично ли жениться на сестре вашей жены? Но вскоре приходит мысль: жена-то ведь уже вдова, значит, тот человек, о котором идет речь, умер! Ясно, что он ни на ком уже жениться не может, а слова «порядочный человек» просто отвлекают наше внимание от этого решающего обстоятельства.
Во всех этих случаях поиск решения сводится к выдвижению некоторого предположения и выведению из него следствий. Если следствия не согласуются с условиями задачи, мы отбрасываем первоначальное предположение и выдвигаем новое и т.д. Несмотря на простоту приведенных примеров, поиск их решения воспроизводит основные черты всякого познавательного процесса: проблема – предположительное решение – проверка решения и его отбрасывание, если оно не согласуется с условиями задачи и с известными нам истинами, – выдвижение нового решения… Логика как раз и изучает те формы, в которых протекает познающее мышление, и те общие принципы, которым оно должно подчиняться, чтобы достигнуть поставленной цели.
Логику интересует лишь форма наших мыслей, но не их содержание. Содержание наших мыслей бесконечно разнообразно: мы можем думать и рассуждать о вулканах и звездах, о любви и предпринимательстве, о колбасе, которой вечно не хватает, и об электронах, от которых не знаешь куда деваться. Однако все это разнообразие укладывается в сравнительно небольшое число форм. Вот эти формы и изучает логика. Образно говоря, логику интересуют сосуды – бутылки, ведра, бочки, а не то, что в них налито. В бутылку что ни налей – нарзан, пиво, вино – она останется бутылкой и ее можно изучать именно как бутылку: исследовать ее геометрическую форму, объем, толщину стенок и т.д. Точно так же и мыслительные формы, независимо от своего содержания, обладают определенными свойствами, которые изучает логика.
В этом отношении логика сходна с грамматикой, которую мы изучали в школе. Грамматика тоже исследует и описывает формы языковых выражений, отвлекаясь от их содержания. Для иллюстрации этого обстоятельства известный советский лингвист Л.В. Щерба приводил пример следующего выдуманного им предложения: «Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокренка». Мы ничего не можем сказать о содержании этого предложения, но знание грамматики позволяет нам утверждать, что слово «куздра» здесь является подлежащим, «будланула» – сказуемым, «бокра» – дополнением и т.д. Мы можем говорить о роде, числе, падеже наших существительных, не имея ни малейшего представления о том, что обозначают соответствующие слова. Аналогичное знание о формах мысли дает нам логика.

Истинность и правильность

Мы уже несколько раз упоминали слово «истина». Пора бы пояснить его. Вопросы о том, что есть истина, можно ли получить ее и каким образом, исследует философия. Здесь мы ограничимся кратким разъяснением, достаточным для целей логики.
Мысль называется истинной, если она соответствует своему предмету, т.е. представляет объект, ситуацию, положение дел так, как они существуют в реальности, сами по себе. Если же мысль не соответствует своему предмету, искажает его, ее называют ложной. Например, мысль о том, что русский композитор А.П. Бородин был химиком, является истинной, так как Бородину действительно принадлежит целый ряд трудов и открытий в области химии. Однако мысль о том, что на яблоне растут бананы, будет ложной, ибо дает искаженное представление о яблоне.
Логическая правильность рассуждения есть его соответствие правилам, законам логики. Если вы опираетесь на истинные данные и рассуждаете правильно, то вы всегда получите истинное заключение. Это логика гарантирует. К со калению, можно правильно рассуждать, но исходить при этом из ложных посылок. В таком случае вы можете прийти к любому заключению – как к истинному, так и к ложному. Как говорится, из лжи следует все что угодно. Например, если вы приняли посылку «Все тигры питаются травой», то из нее вы можете сделать как истинный вывод: «Некоторые травоядные полосаты», так и ложный – «Некоторые травоядные есть тигры». Важно иметь в виду следующее: логика не может сказать, истинны ли те или иные посылки – это задача конкретных наук и повседневной практики, – но она помогает нам сделать наши рассуждения правильными. Если вы опираетесь на ложь, ваши рассуждения могут привести вас куда угодно. Если вы опираетесь на истину, правильные рассуждения приведут вас только к истине.

Мышление и язык

Познающее мышление, изучаемое логикой, всегда выражается в языке, поэтому логика рассматривает мысль в ее языковом выражении. Иногда мы будем просто говорить о словах и предложениях, имея в виду их мысленное содержание. Конечно, имеются мысли, которые нам бывает трудно выразить в языке, – каждый с этим сталкивался: порой школьник или студент на экзамене как будто бы все понимает, а сказать ничего не может. С такими мыслями логика не может иметь дела, не может их изучать и анализировать, они остаются «внутри» индивидуального сознания. Предполагается, что познающее мышление всех людей приблизительно одинаково и не зависит от их национальной принадлежности, социального положения и культурных различий. Естественные языки, на которых разговаривают люди разных народов, весьма существенно различаются, в чем мы с огорчением убеждаемся, когда начинаем изучать иностранные языки. Логика изучает формы мысли, а не языка, поэтому ее законы и принципы справедливы для всякого мышления, независимо оттого, в какой языковой оболочке оно представлено. Возьмем, например, два следующих языковых выражения:
«Snow is white», «Der Schnee ist weiss».
Они состоят из разных знаков и вообще значительно отличаются одно от другого. Однако оба выражают одну и ту же мысль, которая по-русски передается предложением «Снег бел». Мысль – то общее, что свойственно всем этим трем совершенно разным языковым выражениям. Эту мысль и изучает логика. Тем не менее основополагающие характеристики языка оказывают влияние и на нашу мысль, поэтому логике часто приходиться принимать во внимание особенности языкового выражения мысли.

Этапы развития логики

Логика является одной из древнейших наук, оформившихся в самостоятельную дисциплину. Ее создателем считается древнегреческий философ и ученый Аристотель (384-322 гг. до н.э.).
Обращение Аристотеля к систематическому изложению логических знаний и разработке логики было обусловлено в значительной мере общественной потребностью. Гражданин античного полиса активно участвовал в жизни своего маленького государства. Он регулярно посещал народные собрания, на которых обсуждались вопросы войны и мира, городского строительства, торговли и т.п., ежегодно участвовал в выборах государственных чиновников и сам в течение жизни неоднократно мог занимать те или иные должности. За отправление государственных должностей в античной Греции не полагалось никакой оплаты, поэтому занять их стремились немногие. Иногда граждане были вынуждены прибегать к жребию, чтобы назначить кого-то командовать армией, надзирать за рынками или общественными водопроводами. Античные греки много и с удовольствием судились, причем греческий суд не знал прокуроров и адвокатов, истец и ответчик сами должны были выступать перед судьями и присутствовавшей публикой. От умения внятно изложить суть дела и убедительно обосновать свои претензии часто зависел исход дела. Короче говоря, хорошему гражданину необходима была определенная образованность для выполнения своих гражданских обязанностей и осуществления своих гражданских прав.
Вот поэтому-то в античной Греции существовало всеобщее образование и высоко ценились учителя, их называли софистами (от греческого слова «софия» – мудрость), что означало первоначально «мудрец» или «учитель мудрости». Они учили детей грамоте, основам наук, воспитывали умение ясно и убедительно говорить, отстаивать в спорах свое мнение. Со временем, однако, софисты стали изобретать приемы, направленные на то, чтобы одурачить собеседника, представить противника в смешном или глупом виде, внушить недоверие к истине, а ложь, напротив, представить в белоснежных ризах истины. Такие недобросовестные приемы и уловки получили наименование «софизмы», а слово «софист» приобрело тот негативный оттенок, который сохранился у него до сих пор. Вот примеры некоторых софизмов, сохранившихся в трудах древних авторов:
«То, чего ты не терял, у тебя есть. Ты не терял рогов. Следовательно, ты рогат».
«Сидящий встал. Кто встал, тот стоит. Следовательно, сидящий стоит».
Со времен Античности до нас дошла следующая история. У знаменитого софиста Протагора был ученик по имени Эватл, обучавшийся праву. Учитель и ученик заключили договор, согласно которому Эватл должен был заплатить за обучение лишь после того, как выиграет свой первый процесс. Однако, закончив обучение, Эватл не спешил выступать в суде. Терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд.
«Эватл в любом случае вынужден будет заплатить мне, – рассуждал Протагор. – Он либо выиграет этот процесс, либо проиграет его. Если выиграет – заплатит в силу нашего с ним договора; если же проиграет – заплатит в силу приговора суда».
«Ничего подобного, – рассуждал, в свою очередь, Эватл. – Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю – решение суда освободит меня от уплаты; если же проиграю – не буду платить в силу нашего договора».
Ученик, как видите, оказался достоин своего учителя! Озадаченный таким поворотом дела, Протагор посвятил этому спору с Эватлом особое сочинение «Тяжба о плате», которое, к сожалению, до нас не дошло. А если вам публично начнут задавать, например, такие вопросы (договорившись предварительно, что вы будете отвечать только «да» или «нет»):
«Перестал ли ты бить свою мать?», «Перестал ли ты пить коньяк по утрам?» и т.п. Здесь можно впасть в легкий столбняк: скажи хоть «да», хоть «нет» – все равно оказываешься в дурацком положении.
Чувствуешь, что тебя слегка надувают, но в чем тут дело, сказать трудно. Софистика стала мешать общественной жизни греков, как, впрочем, она мешает нам и сейчас. Аристотель систематизировал известные к тому времени логические знания, добавив к ним немало нового, и написал несколько сочинений, в которых представил логику как средство защиты истины и разоблачения софистики и лжи. В этом качестве она служит людям вот уже более двух тысячелетий. Значительный вклад в разработку логики внесли средневековые схоласты и до сих пор сохраняется введенная ими латинская терминология.
В середине XIX в. логика пережила свою научную революцию: возникла и стала бурно развиваться математическая (символическая) логика, применяющая для анализа рассуждений математические средства и методы. Именно она заложила теоретические основы последующей разработки языков программирования для компьютерной техники. Аристотелевская логика с тех пор стала называться традиционной.
В России до 1917 г. логику преподавали в старших классах гимназии, и русские логики внесли значительный вклад в развитие этой науки. Однако вскоре после Октябрьской революции логика – по целому ряду причин – в России исчезает. Только в конце 40-х гг. она вновь возвращается сначала в юридические институты и университеты, затем в педагогические и другие вузы, а в последние годы логика вновь начинает проникать в школы.

Зачем нужно знакомство с логикой?

В наш прагматичный век, сталкиваясь с чем-то для себя новым, люди первым делом спрашивают:
«А зачем мне это нужно?» Увы, простая любознательность постепенно исчезает, да и вечная погоня за карьерой, успехом, просто за куском хлеба почти не оставляет времени и сил на занятия, не приносящие немедленной пользы. Поэтому – зачем? Зачем мне читать эту книжку? Быть может, следующие соображения покажутся вам заслуживающими внимания.
Прежде всего, знакомство с логикой приучает нас точно мыслить и ясно излагать свои мысли. Многие люди вообще не способны связать двух слов. Другие говорят, но так бессвязно и расплывчато, что ничего не поймешь. Логика содействует формированию связной и ясной речи.
Логика воспитывает умение обосновывать свои идеи и решения и убеждать других людей. Если вы способны обосновать свою мысль, решение того или иного вопроса, то ваша речь будет не только ясной, но и убедительной. Каким бы родом деятельности вы ни занимались, часто это – необходимое условие ее успеха.
Еще более важно то, что знакомство с логикой постепенно формирует привычку анализировать свои и чужие рассуждения. Логика вооружает нас и средствами, позволяющими обнаружить, точно обозначить и устранить ошибку рассуждения. Она помогает нам справиться с демагогией и софистикой, избавляет нас от того земляного простодушия, которое легко толкает нас в объятия сладкоречивых жуликов. Обращаются, например, к вам с таким рассуждением: «Я – человек, а вы – не я, следовательно, вы – не человек». И даже если вы чувствуете, что здесь что-то не так, сможете ли вы достойно возразить? Вряд ли. В лучшем случае буркнете что-то вроде «Сам дурак!» и отойдете с чувством интеллектуального унижения. Знакомство с логикой даст вам возможность определить, что это за рассуждение, каким требованиям оно должно удовлетворять и какое из этих требований здесь нарушено. Указав на все это, вы пристыдите демагога или невежду, и уже он отойдет от вас, посыпав голову пеплом.
Логика научит вас спорить. И в повседневной жизни, и в профессиональной деятельности нам часто приходится вступать в полемику по разным поводам. Спорить мы, как правило, не умеем, и наши столкновения чаще всего заканчиваются перебранкой, криком, а то и дракой. Познакомившись с логикой, вы научитесь корректно отстаивать свое мнение, опровергать ошибочное убеждение своего оппонента, находить компромиссы, разоблачать недобросовестные приемы и уловки.
И все-таки самое важное – логика вырабатывает привычку думать. Современная жизнь вынуждает человека много знать, поэтому системы школьного и высшего образования построены таким образом, чтобы вложить в голову учащегося как можно больше информации. Но они, как правило, не учат думать, не стремятся развить эту драгоценную способность человека. Поэтому многие не любят и не умеют думать. Вместо того чтобы задуматься и найти свое решение тех или иных проблем, мы охотно полагаемся на мнение какого-нибудь телевизионного вещателя, друзей или знакомых. Конечно, думать трудно, напряженное размышление забирает столько сил, сколько тратит шахтер или молотобоец. Но ведь думать необходимо, если вы не хотите прожить всю свою жизнь куклой, которую дергают за веревочки ловкие манипуляторы. А когда думание становится привычкой, оно начинает доставлять наслаждение. Так атлет, хрустя позвоночником, обливаясь потом, со стонами развивает свои мышцы. Зато потом, какой восторг доставляет ему игра этих мышц, когда каждая клетка тела поет о радости телесного бытия!
Именно с этой целью в книжку включены самые разнообразные задачи. Они просты, но все-таки заставят вас слегка задуматься. Думайте! Но это не учебник по логике. Для более глубокого знакомства с этой наукой нужно обратиться к специальной литературе.

Глава 2
Слово и понятие

Имя

Наши бытовые и профессиональные разговоры, речи, споры состоят из слов и предложений. Будем считать, что вы умеете отличать слово или словосочетание от предложения, и займемся сначала анализом слов – именно из них, как из кирпичей, строятся «здания» наших рассуждений.
Среди употребляемых нами слов наиболее важными являются имена, причем именно они и составляют большую часть слов. Ну, конечно! Слова и нужны в первую очередь для того, чтобы как-то обозначать, именовать окружающие нас предметы, явления, события. Нам хорошо знаком класс собственных имен, скажем, «Петя», «Иван Кузьмич», «Аделаида Митрофановна», «Александр Пушкин», «Москва» и т.п. Но ведь слова «дом», «береза», «красный» – это тоже обозначения, т.е. имена тех или иных объектов или свойств! Даже встречая незнакомый предмет, мы сразу даем ему имя – «незнакомый предмет»; а уж если нам встретилась вещь, которую мы не знаем, как назвать, мы все равно называем ее – «вещь без имени». Короче говоря, все предметы, свойства, отношения окружающего нас мира, любой объект нашего внимания может быть назван некоторым именем.
Имя – это выражение языка, обозначающее отдельный предмет, совокупность предметов, свойство или отношение.
Мы видим, что логика значительно расширяет наше обыденное понимание того, что такое имя. В повседневной жизни мы считаем именами лишь собственные имена, обозначающие индивидуальные, единственные в своем роде объекты. Но обозначения групп предметов, отношений, свойств тоже естественно рассматривать как их имена! Конечно, это может показаться несколько необычным, и если на вопрос «Как вас зовут?», вы ответите:
«Меня зовут человек», спросивший может слегка удивиться. Однако наука часто отходит от обыденного здравого смысла, проникая в суть вещей. Так и здесь: логика выделяет важнейшую функцию наших слов – что-то обозначать, и с этой точки зрения почти все они оказываются именами.

Понятие

Язык служит для выражения мыслей. Имена не только обозначают те или иные объекты, но выражают также ту или иную мысль. Эта мысль (точнее, форма мысли) называется понятием.
Понятие есть форма мысли, выражаемая именем.
Когда мы называем отдельный предмет или группу предметов, например, «нынешний президент России» или «курица», мы одновременно думаем о каких-то чертах, свойствах этих объектов, об их облике, происхождении, отношении к другим объектам и т.п. Первое из приведенных имен обозначает конкретного человека, но одновременно выражает мысль о государственном устройстве современной России и главе российского государства. Второе имя обозначает обширный класс объектов и одновременно выражает мысль о том, что это – птицы, причем домашние, что они несут яйца, не умеют летать и т.д. Вот эти мысли, выражаемые именами, и являются понятиями.
Всякое понятие выражается в имени и всякое имя выражает понятие. Поэтому в дальнейшем мы часто не будем проводить между ними различия. Однако следует помнить о том, что имя – это выражение языка, а понятие – это мысль.
Между именами и понятиями нет жесткой связи: одно и то же понятие может выражаться разными именами и одно и то же имя может выражать разные понятия. Это проявляется в синонимии, когда два слова выражают одно и то же понятие – например, «смелый» и «храбрый», и в омонимии, когда одно слово используется для выражения двух разных понятий – например, «лук», из которого стреляют, и «лук», который едят. Именно в отсутствии жесткой связи между именами и понятиями лежит источник непонимания между людьми, ошибок в рассуждениях, демагогии и софистики. Писатель В. Набоков рассказывал, что один немецкий лингвист перевел пушкинское «У Лукоморья…» оборотом «На берегу лукового моря…» Он спутал оружие с растением!
1) Вы – пилот самолета, совершающего рейс из Нью-Йорка в Москву. Во время рейса на борту объявляется террорист, требующий посадить самолет в Лиссабоне. Экипаж не знает, что делать. Пассажиры в панике. Сколько лет пилоту самолета?
2) Идет по дороге маленький ребенок и причитает: «И мать у меня есть, и отец, да жаль, я им не сын!» Кем является ребенок?

Содержание и объем имени (понятия)

Каждое понятие или связанное с ним имя имеют объем и содержание.
Содержание понятия – это совокупность тех свойств, которые мыслятся в данном понятии.
Например, в понятии «дерево» мыслятся такие свойства: быть растением, иметь корни, ствол, крону. Вот эти свойства и образуют содержание понятия «дерево».
Объем понятия есть множество тех предметов, каждому из которых принадлежат свойства, входящие в содержание понятия.
Например, объем понятия «дерево» образуют все те предметы, которые обладают перечисленными выше свойствами, т.е. все деревья, растущие на Земле. В объем понятия «стол» войдут все существующие столы, в объем понятия «учащиеся» – все люди, которые где-то учатся, и т.д. Следует иметь в виду, что содержание понятия – это совокупность свойств, а объем понятия – это множество предметов, обладающих этими свойствами.
Анаграммы – это слова, в которых переставлены буквы, например, «стол» – «пост». Если перестановка букв производится по какой-то системе, то получается шифр. Не всегда легко догадаться, какое слово было первоначально. Попробуйте!
3) Шиамна, теевр, фекри, езежол, лабосак, диропом, соратак, двум, рмео, налеп, докилорк, втекоц, сюртал, кораеж, касим, лукаб, трикса.

Классификация понятий

По величине объема понятия разделяются на три группы.
Понятия, в объем которых входит только один предмет, называются единичными.
Они выражаются, как правило, именами собственными или эквивалентными им выражениями, например: «Луна», «Париж», «Наполеон», «автор Илиады», «первый космонавт» и т.п.
Общими называются понятия, в объем которых входит более одного предмета, т.е. два и более. Например, «река», «гора», «планета», «дом», «собака» и т.п.
И наконец, пустыми будут понятия, в объем которых не входит ни одного реального предмета.
У таких понятий есть содержание, т.е. в них мыслится совокупность каких-то свойств, но в окружающем мире нет предметов, которые обладали бы этими свойствами, например: «русалка», «кентавр», «баба Яга», «человек, проживший 1000 лет» и т.п. В понятии «русалка» мыслятся такие свойства: до пояса женщина, ниже пояса – рыба, живет в воде, по ночам выходит на берег. Но нет существ, обладающих перечисленными свойствами. Поэтому понятие «русалка» пусто по объему. Использование пустых понятий требует особой осторожности. Если, скажем, понятие «банковский счет г-на Д.» пусто по объему, а вы рассуждаете так, как если бы оно имело объем, вы можете совершить ошибку.
Рассказывают, что некий врач из Тулузы, желая позабавиться, поместил в местной газете такое объявление: «В связи с отъездом за границу продаю дом и все имущество, в том числе редчайшую историческую реликвию, а именно череп Вольтера-ребенка». И что же вы думаете? В течение одной недели редакция газеты получила от граждан более 100 запросов о цене этой драгоценной реликвии!
Говорят, что лет 30 назад молодые экскурсоводы санкт-петербургского «Эрмитажа» развлекались аналогичным образом. Они заводили группу простодушных посетителей в зал, где были выставлены черепа предков человека, и с серьезным видом начинали рассказывать: «Вы видите череп Петра I в 5-летнем возрасте, а вот его череп в 20-летнем возрасте, а вот таким он стал в 50-летнем возрасте!» Некоторые посетители с интересом отмечали изменения, которые претерпевал череп императора стечением времени.
По содержанию понятия разделяются на две группы.
Конкретные понятия относятся к предметам, вещам, лицам, обладающим самостоятельным существованием
Абстрактные понятия относятся к свойствам или отношения i предметов.
Различие между конкретными и абстрактными понятиями заключается в следующем. Например, дом, белый дом, лошадь – это самостоятельно существующие предметы и понятия о них – конкретные. А вот «белизна» или «лошадность» – это свойства предметов, существующие только в связи с предметами, поэтому соответствующие понятия являются абстрактными. Абстрактными будут и понятия «выше», «большой», «краснота», «доброжелательность» и т.п.
4) А теперь еще одна задача. У нас есть 9 монет одинакового достоинства, но одна из этих монет фальшивая: она легче, чем настоящие. В нашем распоряжении имеются простые весы с чашками, но без шкалы, которые лишь показывают отношение тяжелее-легче. Каким образом с помощью всего лишь двух взвешиваний выделить фальшивую монету?

Отношения между объемами понятий

Если мы попытаемся сравнить между собой объемы различных понятий, то сразу же заметим, что у од них понятий объемы большие, у других – поменьше, что объем одного понятия может включаться в объем другого понятия и т.п. Однако сначала мы обнаружим, что некоторые понятия вообще невозможно сравнивать с этой точки зрения – настолько далеки они друг от друга по своему содержанию Ну как, в самом деле, сравнивать г снятия «оперная ария» и «дерево», «время года» и «бифштекс»?! Такие понятия, в содержаниях которых нет ничего общего, называются несравнимыми.
Сравнимыми называют понятия, содержания которых имеют общие элементы, т.е. имеются какие-то свойства, черты, признаки, которые входят в содержание как одного, так и другого понятия. В дальнейшем мы будем говорить только о сравнимых понятиях.
Совместимыми называются понятия, объемы которых имеют общие элементы, т.е. существуют предметы, которые включаются в объем как одного, так и другого понятия. Будем изображать объемы понятий в виде кругов, в центре которых стоит буква, представляющая некоторое понятие, например, объем понятия A (скажем, «слон») будет выглядеть так:

Этот кружок включает в себя всех слонов, живущих на Земле. Тогда с помощью этих кругов мы можем представить следующие отношения между совместимыми понятиями:

Пересечение
Объемы двух понятий A и B имеют общую часть – это те студенты, которые одновременно занимаются спортом, и те спортсмены, которые учатся в вузе. В то же время есть студенты, не занимающиеся спортом, и спортсмены, которые не являются студентами.

Подчинение
Объем понятия B полностью включается в объем понятия A, например, объем понятия «дуб» полностью включается в объем понятия «дерево». Иногда отношение подчинения называют «родо-видовым» отношением: более широкое по объему понятие A называют «родом», а понятие B называют «видом».

Тождество
Объемы понятий A и B совпадают, т.е. это одна и та же совокупность предметов, отображаемая с точки зрения разных существенных свойств двумя понятиями, например: «первый космонавт» и «Ю.А. Гагарин», «квадрат» и «равноугольный ромб», «храбрый» и «смелый».

Несовместимыми называются понятия, объемы который не имеют общих элементов, т.е. нет предметов, которые одновременно включались бы как в объем одного, так и в объем другого понятия. Существует три разных отношения между объемами таких понятий.

Соподчинение
Объемы понятий A и B полностью различны, но они все-таки сравнимы, т.е. имеют в своих содержаниях какие-то общие черты. Именно это мы и имеем в виду, когда помещаем их в объем третьего, более широкого понятия C, видами которого являются наши несовместимые понятия. Например, понятие A – «дуб», понятие B – «береза». Эти понятия не имеют общих элементов, нет предмета, который одновременно был бы и дубом и березой, однако и дубы, и березы включаются в объем более широкого понятия «дерево» (C).

Противоположность
Выше нам было безразлично, как именно располагаются наши дубы и березы в объеме понятия «дерево». Но иногда это имеет значение, ибо предметы, входящие в объемы сравниваемых понятий, стремятся как можно дальше отодвинуться друг от друга, как бы тяготеют к разным полюсам в объеме третьего родового понятия. Например, «богатые» – «бедные», «трусливые» – «храбрые», «здоровые» – «больные» и т.п. Такие понятия называются «противоположными».

Противоречие

Два сравниваемых понятия не просто тяготеют к разным полюсам в объеме третьего понятия, но вместе полностью исчерпывают объем этого третьего понятия, например, «богатый» – «небогатый», «здоровый» – «нездоровый» и т.п. Такие понятия называются «противоречащими» друг другу. При выражении противоречащих понятий в языке одно из них содержит, как правило, отрицательную частицу: «неумелый», «невежливый», «невысокий» и т.п. Отличить противоположность от противоречия нетрудно: противоположные понятия оставляют между своими объемами некоторую «прокладку», т.е. те предметы, которые не включаются ни в первое, ни во второе понятие; противоречащие понятия полностью исчерпывают объем третьего, более широкого понятия.
Порой бывает полезно с помощью этих простых схем наглядно представить себе отношения между объемами тех или иных понятий. В каком, например, отношении находятся следующие понятия:
A – врач,
B – хирург,
C – женщина.
Берем первую пару понятий. Каково отношение между врачами и хирургами? Пересечение? Нет, ибо тогда часть хирургов окажется вне круга врачей. А что это за хирурги, которые не являются врачами? Бандиты! Все хирурги должны войти в число врачей. Тогда между объемами этих понятий должно быть отношение подчинения: все хирурги врачи, но не все врачи – хирурги. Теперь можно приняться за женщин. Могут женщины быть хирургами? Могут. Могут женщины быть врачами других специальностей – терапевтами, отоларингологами, психиатрами? Могут. А могут ли они быть просто женщинами, не врачами? Еще как могут! Тогда круг женщин пересекаем с обоими кругами:

Рисование кружков кажется детским занятием. Однако оно полезно в том отношении, что заставляет нас задуматься над содержанием даже хорошо известных нам понятий. Смысл, содержание многих слов мы схватываем довольно поверхностно, поэтому плохо представляем себе, к каким объектам они относятся. Пытаясь точно представить отношения между объемами понятий, мы гораздо яснее и глубже начинаем понимать их содержание. Попробуйте изобразить отношения между объемами очень хорошо известных вам понятий: 5) мать – дочь – бабушка – женщина, и вы убедитесь, как мало мы вдумываемся в значения этих слов!
Пора немного подумать! Многие из вас помнят детскую задачку о волке, козе и капусте, которых нужно было по очереди перевезти на другой берег реки и при этом не допустить, чтобы коза съела капусту, а волк сожрал козу. Она представляет собой упрощенный вариант довольно старой задачи, имеющей множество сложных вариантов. Вот один из них.
6) На берег реки приехали 3 рыцаря, каждый со своей дамой. У берега реки стоит лодка, способная вместить не более двух человек. Как с помощью этой лодки рыцарям и их дамам переправиться на другой берег, если должно быть выполнено условие: ни одна дама не может оказаться в обществе других рыцарей, если рядом с ней нет ее собственного рыцаря? Лошади переплывают реку сами, дамы способны грести веслами не хуже рыцарей, в лодку входят и из нее выходят по одному, лодка может пересекать реку сколько угодно раз, обратно лодку кто-то должен пригнать и т.п. Не выдумывайте ситуаций, когда кто-то прыгает из лодки на берег, а с берега другой прыгает в лодку и оказывается, что оба парят в воздухе!
Попробуйте найти хотя бы один способ переправы.

Неточность, неясность, многозначность

Слова нашего повседневного языка и выражаемые ими понятия часто оказываются неточными и неясными. Это приводит к ошибкам в рассуждениях, к бесплодным спорам, служат основой софистики и демагогии. Логика пытается устранить неясность и многозначность выражений нашего языка или хотя бы обратить на них внимание.
Неточным является такое понятие, границы объема которого расплывчаты, неопределенны.
Возьмите, скажем, понятие «молодой человек». Ну, в 20 лет человека можно считать молодым. А в 30? А если человеку уже перевалило за 40? Нет четкой границы между молодым и немолодым человеком. Таковы же понятия «высокий», «дом», «окно», «далекий» и т.д. Взгляните, как легко впасть в противоречие при использовании неточного понятия! Известно, что на голове человека около 100 тыс. волос. Выберем 100 тыс. человек и выстроим их в ряд. Первым поставим человека с наибольшим количеством волос на голове; вторым – того, у которого на один волос меньше; третьим – того, у которого на один волос меньше, чем у второго, и т.д. Последним в ряду будет человек, у которого на голове нет ни одного волоса. Пройдемся вдоль этого ряда. Первый человек в ряду, безусловно, не лысый. Взяв произвольную пару из этого ряда, найдем, что если первый из пары – не лысый, то и второй не будет лысым, ведь у него всего на один волос меньше! Отсюда на основании математической индукции следует, что ни одного человека из этого ряда нельзя назвать лысым. Но ведь последний в ряду – совершенно лысый человек! Таким образом, глаза нам говорят одно, а разум – совсем другое. Чтобы не сталкиваться с подобными противоречиями, нужно стремиться заменять неточные понятия точными.
Неясными называют понятия с неопределенным содержанием. Все мы часто пользуемся словом «игра»: игра в футбол, игра в шахматы, игра актеров в театре и кино. Но попробуйте сказать, что такое «игра» вообще? Как только мы задумываемся над этим вопросом, сразу же выясняется, что на него чрезвычайно трудно ответить, ибо содержание понятия «игра» совершенно неопределенно. Сейчас в средствах массовой информации часто можно услышать слова «народ», «цивилизация», «интеллигенция», «собственность», «наука» и т.п. – все эти понятия весьма неясны по своему содержанию, что позволяет манипулировать ими в демагогических рассуждениях.
Наконец, еще одна особенность нашего повседневного языка заключается в том, что большая часть его слов и выражений многозначна, т.е. в разных случаях употребления они получают различные значения. Возьмите, например, два выражения: «глубокая впадина» и «глубокие знания». Слово «глубокий» имеет совершенно разные смыслы в первом и во втором выражениях. Многозначность слов затрудняет взаимопонимание и часто приводит к ошибкам. Например, учитель спрашивает: «Что такое монархия?» «Это когда правит король», – отвечает ученик. «А если король умирает?» – «То правит королева». – «А если и королева умирает?» – «Ну, тогда правит валет». Ученик путает представителей королевской семьи с персонажами карточной колоды и словам «король» и «королева» придает совсем не то значение, которое имеет в виду учитель. Логика требует, чтобы в разговоре или в конкретном рассуждении слова употреблялись только в одном смысле.
Попробуйте понять, в чем состоит двусмысленность следующих ниже выражений и диалогов.
– Джексон, что случилось? – спрашивает поручик идущего по двору рядового Джексона с загипсованной рукой.
– Я сломал руку в двух местах, сэр.
– Впредь избегайте этих мест. Джексон.
Перед началом операции хирург намеревается продезинфицировать руки.
– Спирту! – приказывает он ассистентке. Больной, испуганно:
– Умоляю вас, доктор, только не перед операцией!
Проходя мимо аптеки, человек увидел в витрине симпатичный флакон, на котором крупными буквами было написано: «От насморка и кашля – один доллар». Обрадовавшись, он купил заманчивый флакон и отправился домой.
Не прошло и суток, как он прибежал назад в аптеку с жалобой, что стал кашлять еще сильнее, несмотря на то, что выпил целый флакон.
– Выпил! – закричал аптекарь. – И вы еще живы? Да ведь это же специальный состав для пропитки обуви, чтобы она не пропускала влагу!
Жертву дорожного происшествия доставили в госпиталь.
В приемном отделении, записывая его данные, сестра спрашивает:
– Женаты?
– О нет, нет, – вздрагивает пострадавший, – я просто попал под автомобиль.
Властная дама приказывает своему мужу:
– Дорогой! Пойди и отнеси это письмо на почту.
– Но ты же видишь, дождь льет как из ведра. В такое время даже нашу собаку не выведешь на улицу.
– А вот собаке там делать нечего!
Разговор в поезде:
– Вы знаете, у меня жена – ангел!
– Счастливец, а моя еще жива.
Жена фермера говорит мужу:
– Дорогой, а ведь завтра 25 лет, как мы с тобой женаты! Не заколоть ли по этому поводу кабанчика?
– Вот еще вздор! Кабанчик-то в чем виноват?
Во время тренировки пожарный Д.Д. Погорелов сорвался с 40-метровой лестницы и упал на бетонную мостовую. Но он остался жив, избежав даже ушибов и царапин. Врач «скорой помощи» высказал предположение, что благополучный исход можно объяснить тем, что Погорелов успел подняться только на вторую ступеньку лестницы.
Какое выражение понимается двояко?
– Тебе повезло на охоте за тиграми?
– О да, страшно повезло! Я не встретил, слава Богу, ни одного тигра.
Какой части предложения можно придать два смысла?
Тетушка зашла в магазин купить щенка для своей племянницы – подарок ко дню ее рождения.
– Вы уверены, что вот этот щенок будет подходящим подарком?
– Безусловно, – ответил продавец. – Он очень добр и доверчив, ест все подряд и особенно любит детей.
В чем источник непонимания?
Приезжий: Ну что это за комнатушка? Да здесь и кошке негде повернуться?
Хозяин отеля: Не надо волноваться, сэр, в наш отель мы кошек не пускаем.

Операции с понятиями

Определение понятий

Для устранения неясности понятой и уточнения их содержания используется операция определения понятий.
Определение есть логическая операция, раскрывающая содержание понятия и позволяющая отличать определяемые предметы от других, сходных с ними предметов.
Когда содержание некоторого понятия вам известно плохо или вообще неизвестно, вы задаете вопрос: «Что это такое?» В ответ вам дают определение. Например, вы спрашиваете: «Что такое квадрат?» Вам отвечают: «Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами» – это и есть определение.
Определение говорит о тождестве двух понятий – определяемого и определяющего. Содержание определяемого понятия вам не известно, и оно раскрывается через известные вам определяющие понятия. В приведенном примере предполагается, что вы знаете, что такое прямоугольник и что такое равенство сторон. Для того чтобы определение выполняло свою задачу и действительно раскрывало содержание определяемого понятия, нужно при формулировке определения соблюдать некоторые простые правила.
1. Определение должно быть соразмерным, т.е. определяемое и определяющее понятия должны быть тождественны по своему объему.
Ну, конечно! Определение говорит о тождестве двух понятий, следовательно, эти два понятия относятся к одной и той же совокупности предметов. Нарушение этого правила приводит к ошибкам двоякого рода. Либо объем определяющего понятия больше объема определяемого понятия – тогда наше определение будет слишком широким; либо объем определяющего понятия меньше объема определяемого понятия – тогда наше определение будет слишком узким. Например:
Лампа есть источник света.
Данное определение отождествляет понятие «лампа» с понятием «источник света». Но последнее гораздо шире по своему объему: источником света являются и лампа, и Солнце, и электрический фонарь, и Луна. Это слишком широкое определение.
Треугольник есть плоская фигура стремя равными сторонами.
Это слишком узкое определение, оно исключает из числа треугольников фигуры с разными сторонами.
2. Определение должно быть точным и ясным.
Это правило говорит о том, что при определении нельзя использовать неточные и неясные понятия, о которых мы говорили в предыдущем разделе. Здесь следует обратить внимание на то, что слова, понятия, используемые в определяющей части, должны быть известны вам – тому человеку, для которого дается определение. Сами по себе они могут быть точны и ясны, но если их значение вам не известно, то определение не даст вам никакой информации. Данное требование исключает из числа определений всякого рода метафоры, крылатые выражения, сравнения и т.п. Например:
Лень – мать всех пороков.
Лев – царь зверей.
Религия – опиум для народа.
3. Определение не должно содержать в себе круга.
Здесь мы впервые сталкиваемся с ошибкой «порочного круга», которая проникает во многие логические операции. Суть этой ошибки заключается в том, что интересующее вас понятие определяется посредством других понятий, содержание которых само раскрывается через определяемое понятие. Например:
Вращение есть движение вокруг оси.
Как будто бы все хорошо. Но что такое «ось»?
Ось есть прямая, вокруг которой осуществляется вращение.
Таким образом, понятие «вращение» определяется с помощью понятия «ось», а понятие «ось», в свою очередь, определяется с помощью понятия «вращение». Получается «порочный круг», и человек, обращающийся к определению, не получает никакой информации о содержании интересующего его понятия. Например, в одном из рассказов польского писателя С. Лема мы читаем:
«Сепульки есть объекты, служащие для сепуления».
А что же такое «сепуление»?
«Сепуление – процедура, производимая с помощью сепульки».
Мы так и не узнаем, что такое «сепульки» и «сепуление».
Дать хорошее определение трудно, но можно хотя бы научиться устанавливать, насколько хорошим является данное вам определение. Для этого, столкнувшись с определением, задайте себе вопрос:
«Смогу ли я на основании данного определения отличить определяемые предметы от всех остальных предметов?» Если сможете – определение является хорошим, оно действительно раскрывает содержание интересующего вас понятия; если же вы будете путать определяемые предметы с другими предметами – данное вам определение является плохим, какое-то из указанных выше правил в нем нарушено.
7) В пещере лежат 4 колпака – 2 белых и 2 черных. В пещеру входят три мудреца, которые знают, сколько там лежит колпаков и какого цвета. Но в пещере темно, поэтому мудрецы на ощупь выбирают себе колпак, надевают на голову и по одному выходят из пещеры. Первый идет куда глаза глядят. Второй идет за ним и видит, какого цвета на нем колпак. Третий идет последним и видит, какого цвета колпак на первом и втором. Вопрос: всегда ли среди этих трех мудрецов найдется тот, который догадается, какого цвета на нем колпак, и громко воскликнет: «Я знаю, на мне…!»? Ответ нужно обосновать.
Мудрецы не оборачиваются, не разговаривают и т.д. Они должны догадаться.

Деление понятий. Классификация

Для устранения неточности понятий используется другая логическая операция – деление. Она приобретает особое значение, когда объем рассматриваемых нами понятий очень велик и в нем трудно ориентироваться. Тогда мы часто разбиваем его на какие-то части, группы, классы – это и есть деление.
Деление есть логическая операция, раскрывающая объем понятия посредством разбиения его на виды.
Например, органы чувств подразделяются на органы зрения, слуха, обоняния, осязания и вкуса; высшие растения делятся на травы, кустарники и деревья. В повседневной жизни мы разделяем людей в зависимости от их роста на высоких, средних и маленьких; пищу, которую потребляем, – на вкусную и невкусную; вещи, которые носим, – на дорогие и дешевые…
В операции деления присутствуют три элемента: делимое понятие; основание деления – один из признаков предметов, образующих объем делимого понятия, опираясь на который мы производим деление; члены деления – те виды, которые получаются в результате деления. Например: люди делятся на блондинов, брюнетов, шатенов, рыжих и альбиносов. Здесь делимым понятием будет понятие «люди»; основанием деления – цвет волос; членами деления – блондины, брюнеты и т.д. Для того чтобы деление не приводило нас к ошибкам, чтобы оно действительно раскрывало объем интересующего нас понятия, при совершении деления нужно соблюдать некоторые простые правила.
1. Деление должно быть соразмерным, т.е. сумма членов деления должна быть в точности равна объему делимого понятия.
Нарушение этого правила приводит к ошибкам двух видов.
а) Неполное деление – когда перечисляются не все виды делимого родового понятия, например:
«Энергия делится на механическую и химическую» (не указана электрическая и атомная энергия).
б) Деление с лишними членами – когда в результате деления к объему делимого понятия добавляются предметы, которых там первоначально не было, например: «Химические элементы делятся на металлы, неметаллы и сплавы» (сплавы не входят в объем понятия «химический элемент»).
2. Члены деления должны исключать друг друга, т.е. не иметь общих элементов, быть соподчиненными понятиями, объемы которых не пересекаются. Иначе говоря, каждый элемент из объема делимого понятия должен попасть только в один класс, в противном случае возникнет путаница, а не прояснение объема интересующего нас понятия. Пример: «Войны бывают справедливыми, несправедливыми, освободительными, захватническими и мировыми». Здесь члены деления не исключают друг друга: справедливая война может быть освободительной, захватнические войны – все несправедливые, и те и другие могут быть мировыми. Хорошее деление можно сравнить с разрезанием пирога: куски пирога четко отделены друг от друга и не может быть так, чтобы часть одного куска была в то же время частью другого куска. Таким же должно быть и деление понятий.
3. Деление должно производиться только по одному основанию, нельзя в процессе деления заменять один признак, опираясь на который вы начали деление, другим признаком. Например: «Люди бывают богатыми, бедными и лысыми».
Деление понятий следует отличать от мысленного расчленения предмета на части. Последняя операция также широко используется в повседневной, жизни: квартиру мы членим на комнаты, кухню, коридор и туалет; автомобиль – на мотор, кузов, колеса; завод – на цеха и т.п. Однако деление понятий и расчленение предмета на части – совершенно разные операции, и их смешение приводит к путанице. Кому, например, нужно такое деление: «Дома делятся на жилые, нежилые и квартиры» или «Самолеты делятся на гражданские, военные, колеса и крылья»?
8) Сейчас я докажу вам, что 3 раза по 2 будет не 6, как выдумаете, а всего 4. Следите за моими рассуждениями. У меня в руке 2 спички – 1 пара.
Я ломаю одну спичку и получаю вторую пару. Две пары есть.
Я ломаю вторую спичку и получаю третью пару.
Однако, взяв три раза по 2, я получаю всего 4. Посмотрите и убедитесь: на моей ладони лежат всего 4 обломка.
Где я совершил ошибку?

Ответы

1) Кажется, это вопрос того типа, что задал бравый солдат Швейк членам медицинской комиссии, однако это не так. Разговоры о Нью-Йорке, Лиссабоне и террористе имеют цель отвлечь ваше внимание от того факта, что пилот – это вы сами и ему столько же лет, сколько и вам.
2) Начинаются размышления: может быть, это не родной, а приемный сын? Обычно первыми находят ответ девушки: да, такое часто бывает, это дочь.
3) Машина, ветер, кефир, железо, колбаса, помидор, красота, дума, море, пенал, крокодил, цветок, люстра, жаркое, миска, булка, старик.
4) Основная идея решения состоит в том, что 9 монет нужно разделить на 3 кучки по 3 монеты в каждой. Как только вы набрели на эту мысль, задача моментально решается: кладем на каждую чашку весов по 3 монеты, и 3 монеты остаются в стороне. Если весы остаются в равновесии, это означает, что фальшивая монета находится среди трех отложенных. Если же одна тройка монет тяже&heip;