Интеллектуальные развлечения. Интересные иллюзии, логические игры и загадки.

Добро пожаловать В МИР ЗАГАДОК, ОПТИЧЕСКИХ
ИЛЛЮЗИЙ И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ РАЗВЛЕЧЕНИЙ
Стоит ли доверять всему, что вы видите? Можно ли увидеть то, что никто не видел? Правда ли, что неподвижные предметы могут двигаться? Почему взрослые и дети видят один и тот же предмет по разному? На этом сайте вы найдете ответы на эти и многие другие вопросы.

Log-in.ru© - мир необычных и интеллектуальных развлечений. Интересные оптические иллюзии, обманы зрения, логические флеш-игры.

Привет! Хочешь стать одним из нас? Определись…    
Если ты уже один из нас, то вход тут.

 

 

Амнезия?   Я новичок 
Это факт...

Интересно

В 1995 году впервые в истории японцы съели больше мяса, чем риса.

Еще   [X]

 0 

Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія (Іовлєва Тетяна)

У школі вам розкажуть про способи рішення інтегралів, про те, як виглядає бензольне кільце й скільки літрів крові перекачує серце. Але це лише сухі факти, за кожним з яких стоїть набагато більше: щасливі випадки й багаторічна завзята праця, провали й нескінченні експерименти тисяч учених. Багато відкриттів стали для людства доленосними. Як і коли були зроблені найвагоміші відкриття в історії цивілізації, хто були їхні автори та ще про безліч маловідомих, але дуже цікавих подробиць «наукової кухні» ви і дізнаєтеся з енциклопедії «Видатні наукові відкриття».

Год издания: 2007

Цена: 58 руб.



С книгой «Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія» также читают:

Предпросмотр книги «Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія»

Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія

   У школі вам розкажуть про способи рішення інтегралів, про те, як виглядає бензольне кільце й скільки літрів крові перекачує серце. Але це лише сухі факти, за кожним з яких стоїть набагато більше: щасливі випадки й багаторічна завзята праця, провали й нескінченні експерименти тисяч учених. Багато відкриттів стали для людства доленосними. Як і коли були зроблені найвагоміші відкриття в історії цивілізації, хто були їхні автори та ще про безліч маловідомих, але дуже цікавих подробиць «наукової кухні» ви і дізнаєтеся з енциклопедії «Видатні наукові відкриття».


Дитяча енциклопедiя Видатнi науковi вiдкриття

Вступ

   Науки виникають не самі по собі. Вони з’являються внаслідок необхідності вирішення тих чи інших проблем, що постають у процесі розвитку людства. Наука чимдалі більше впливає на життя людей. Сьогодні науково-технічний прогрес торкнувся практично всього людського буття. Нашим сучасникам часом іноді важко уявити, як саме відбулося відокремлення науки із загального процесу пізнання людством навколишньої природи, опису й констатації певних явищ. Формулювання закономірностей існування різних природних явищ, їхній розвиток, створення численних теорій і гіпотез – процес багатовіковий. Тисячі геніальних учених присвятили своє життя тому, щоб розкрити всі загадки навколишнього світу й підняти цивілізацію на сучасний рівень. І цей процес триває, наші знання розширюються і поглиблюються.
   Але в усіх галузях науки існують відкриття, які докорінно змінили уявлення людства про причини тих чи інших явищ. Пізнання природи – справа не тільки занурених у свою науку одинаків. Успіхи в науці завжди значною мірою залежали і від діяльності великих груп маловідомих або навіть зовсім забутих дослідників. Ніхто вже не згадає, хто винайшов колесо або хто першим помітив, що ковкість металів залежить від нагріву. Це ж було так давно. Проте історія зберегла й тисячі імен першовідкривачів. Лише для того, щоб бодай хоч коротко перелічити всіх дослідників і їхні відкриття, потрібен був би не один том. Однак автори цієї енциклопедії і не прагнули охопити все. З усіх наук перевага була віддана природничим наукам, на яких базуються закони світобудови.
   Так, читач зможе довідатися про наукові відкриття в таких природничих науках, як математика, фізика й астрономія, хімія, біологія й медицина, геологія. Щоб ознайомитися з відкриттями у інших галузях науки, ви можете звернутися до енциклопедій, що вже вийшли у видавництві «Фоліо», – «Підводний світ», «Географічні відкриття», «Історія речей», «Інформатика» тощо.
   Колись Архімед урочисто вигукнув: «Еврика!», у такий спосіб сповістивши світу про своє велике відкриття. Звичайно, можна по-різному виявляти емоції в подібних випадках, але, поза всяким сумнівом, незаперечним є одне: протягом століть у людства було чимало підстав для такого вигуку. І кожен новий день – це нові наукові гіпотези й досягнення. І можливо, комусь із вас, юні друзі, пощастить додати нові рядки у вічну книгу про наукові відкриття.

I
Найточніша наука

   Математика – це наука про кількісні співвідношення і просторові форми існуючого світу. Назва цієї галузі знань походить від грецького слова «матейн» – вчитися, пізнавати. Давні греки взагалі вважали математику («математіке») і науку («матема») синонімами. Але існує ще й інше, простіше пояснення слова «математика»: грецькою «матема» означало ще й врожай, збір врожаю. Зібравши врожай, греки мали оцінити результати своєї праці, а для цього треба було насамперед навчитися рахувати. Найпростішою частиною давньої математики є арифметика, що грецькою означає «мистецтво лічби». І нині, навіть у цивілізованих країнах, люди можуть прожити, не вміючи ані читати, ані писати, але уміння рахувати, або хоча б тільки складати, потрібне обов’язково.
   Математику зазвичай відносять до точних, а не природничих наук. Вона є найважливішим інструментом багатьох галузей знань, адже будь-яка з природничих наук починається зі спостережень та збирання фактів. Математика допомагає упорядкувати розрізнені факти. Однак сама вона не є частиною природи.
   Започаткувавши розвиток з понять про числа і найпростіші геометричні уявлення, сьогодні математика глибоко проникла в усі галузі науки, техніки і в усе наше життя. Без неї неможливо уявити існування фізики й механіки, хімії та економіки і навіть біології та медицини. Математика оперує аксіомами, формулами, теоремами, на яких базуються інші науки. Вона є однією із найголовніших наук.

З глибини далеких тисячоліть

   Люди почали рахувати задовго до того, як з’явилася писемність. Математичні знання використовувалися в далекому минулому для розв’язання повсякденних задач, і тому саме практика значною мірою керувала всім подальшим розвитком математики. Датський фізик Нільс Бор казав, що саме математика є чимось значно більшим, ніж просто наука, бо вона є мовою науки. І справді, математика стала для багатьох галузей знань не тільки знаряддям кількісного обрахунку, але ще й методом точного дослідження та засобом чіткого формулювання понять і проблем.
   До періоду 30 тисяч років до нашої ери історики відносять перший документ, який свідчив про знайомство наших предків із зародками лічби. Це так звана «вестоницька кістка» з зарубками. У V–IV тисячолітті до нашої ери набув розвитку вимір затоплених площин, що свідчило про зародження геометрії. У шумерських клинописних табличках (ІІІ тис. до н. е.) почала застосовуватися десятково-шістдесяткова система числення. Водночас числова символіка поширилася в Єгипті і являла собою десяткову систему. Месопотамські математики вже приблизно вирахували число π ≈ 3,125. Вавилоняни склали таблиці обернених чисел (які використовувалися при виконанні ділення), таблиці квадратів і квадратних коренів, а також таблиці кубів і кубічних коренів. Вони також користувалися квадратичною формулою для розв’язання квадратних рівнянь і могли розв’язувати деякі спеціальні типи задач, які включали до десяти рівнянь із десятьма невідомими, а також окремі різновиди кубічних рівнянь і рівнянь четвертого степеня!
   Найдавнішою математичною діяльністю була лічба. Вона була необхідною, щоб стежити за поголів’ям худоби й вести торгівлю. Деякі первісні племена підраховували кількість предметів, зіставляючи різні частини свого тіла, головним чином пальці рук і ніг. Наскельний малюнок, що зберігся до наших часів від кам’яного віку, зображує число 35 у вигляді серії вишикуваних у ряд 35 паличок-пальців. Першими істотними успіхами в арифметиці стали концептуалізація числа й винахід чотирьох основних дій: додавання, віднімання, множення й ділення. Перші досягнення геометрії пов’язані з такими простими поняттями, як пряма й коло. Подальший розвиток математики почався приблизно в 3000 році до нашої ери завдяки вавилонянам і єгиптянам.
   Близько 700 року до нашої ери вавилоняни почали застосовувати математику для дослідження руху Місяця й планет. Це дало їм змогу завбачувати розташування планет, що було важливо як для астрології, так і для астрономії. У геометрії вавилоняни знали про такі співвідношення, як, наприклад, пропорційність відповідних сторін подібних трикутників. Їм була відома теорема Піфагора й те, що кут, уписаний у півколо, є прямим, а також правила обчислення площ простих плоских фігур, у тому числі правильних багатокутників і об’ємів простих тіл.
   Хоч майя, які жили в Центральній Америці, і не мали впливу на розвиток математики, проте їхні досягнення, що належать приблизно до IV століття до нашої ери, заслуговують на увагу. Майя, очевидно, першими використовували спеціальний символ для позначення нуля у своїй двадцятковій системі. У них були дві системи числення: в одній застосовувалися ієрогліфи, а в другій, більш поширеній, крапка позначала одиницю, горизонтальна риска – число 5, а символ ока – нуль.
   Аксіома – вихідне положення, яке приймається без логічних доведень, як незаперечне.
   Але з точки зору ХХ століття родоначальниками математики були греки класичного періоду (VІ—ІV ст. до н. е.). Екстраординарним кроком стало твердження греків про те, що висновків можна дійти шляхом дедуктивного доведення. Жодна інша цивілізація не дійшла до ідеї одержувати їх винятково на основі дедуктивних міркувань, що виходять із сформульованих аксіом.
   Дедуктивний характер грецької математики повністю сформувався в час Платона й Арістотеля. Відкриття дедуктивної математики приписують Фалесу Мілетському (бл. 640–546 рр. до н. е.), що, як і багато давньогрецьких математиків класичного періоду, був ще й філософом. Висловлювалося припущення, що Фалес використовував дедукцію для доведення деяких результатів у геометрії, хоча це сумнівно. Йому також належить одна з найдавніших теорем з геометрії: «Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на іншій його стороні».
   Іншим великим греком був Піфагор (бл. 585–500 рр. до н. е.). Важко знайти людину, у якої ім’я Піфагора не асоціювалося б із однойменною теоремою. Усі, хто у шкільні роки вивчав математику, пам’ятають, що квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин його катетів. Причина такої популярності теореми Піфагора зрозуміла: це її простота, краса і значущість. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Вона має величезне значення і застосовується в геометрії на кожному кроці.
   Фалес Мілетський

   Існує близько п’ятисот різних доведень цієї теореми, що свідчить про гігантську кількість її конкретних реалізацій.
   Майбутній великий математик і філософ Піфагор уже в дитинстві виявив неабиякі здібності до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса він здобув знання з основ музики, живопису та літератури, а ще той прищепив юному Піфагору любов до природи і її таєм ниць. На острові Лесбос відбулося знайомство Піфагора з філософом Перекідом, який більш відомий як Фалес Мілетський. У нього Піфагор навчався астрології, віщуванню затемнень, таємницям чисел, медицині й іншим обов’язковим для того часу наукам. Побував Піфагор і у Фінікії, де, за переказами, переймав науку у відомих сідонских жерців.
   Піфагор

   Відповідно до стародавніх легенд, у вавилонському полоні Піфагор зустрічався з перськими магами, прилучився до східної астрології й містики, познайомився із вченням халдейських мудреців. Халдеї познайомили Піфагора зі знаннями, накопиченими східними народами протягом багатьох століть: астрономією й астрологією, медициною й арифметикою. Дванадцять років Піфагор перебував у полоні, поки його не звільнив перський цар Дарій Гістасп, що почув про уславленого грека. Піфагору на той час уже виповнилося шістдесят років. Він вирішив повернутися на батьківщину, щоб прилучити до накопичених знань свій народ, створивши у Кротоні власну філософську школу.
   У школі Піфагора вперше було висловлено здогад про кулястість Землі. Слід також завважити, що вчений уявляв Землю кулею, що обертається навколо Сонця. Коли у XVI столітті церква почала переслідувати вчення Коперника, його ще вперто називали піфагорійським.
   Цікаво, що теорема Піфагора була відома ще на початку ІІ тисячоліття до нашої ери в давньому Вавилоні. Одна з клинописних табличок містила 15 чисел, що відповідали цій теоремі. І в Китаї в ХІ столітті до нашої ери вже використовували «трикутник Піфагора» зі сторонами 3, 4 та 5.
   Відкриття теореми Піфагором оточено ореолом красивих легенд. Прокл, коментуючи книгу Евкліда «Начала», пише: «Якщо послухати тих, хто любить повторювати давні легенди, то слід сказати, що ця теорема бере свій початок від Піфагора; розповідають, що він на честь цього відкриття приніс у жертву бика». Згодом один бик перетворився на сотню. Втім, у це важко повірити, бо ще Ціцерон казав, що будь-яке пролиття крові було ворожим уставу Піфагорійського ордена, але ця легенда міцно зрослася із теоремою Піфагора й через дві тисячі років ще й досі тривають палкі відгуки на неї.
   Багато чого зробив учений і в геометрії. Саме у школі Піфагора геометрія вперше оформилася в самостійну наукову дисципліну. Піфагор та його учні першими стали вивчати геометрію системно – як теоретичне вчення про властивості абстрактних геометричних фігур, а не як збірник прикладних ілюстрацій в галузі до землеробства.
   Найважливішою науковою заслугою Піфагора вважається те, що він системно ввів доведення в математику і, насамперед, у геометрію. Власне кажучи, тільки із цього моменту математика й починає існувати як наука. З народженням же математики зароджується й наука взагалі, бо «жодне людське дослідження не може називатися справжньою наукою, якщо воно не пройшло через математичні доведення», як казав Леонардо да Вінчі.
   Графічне зображення теореми Піфагора

   Отже, заслуга Піфагора й полягала в тому, що він, очевидно, першим прийшов до такої думки: геометрія, по-перше, повинна розглядати абстрактні ідеальні об’єкти і, по-друге, властивості цих ідеальних об’єктів мають встановлюватися не за допомогою вимірів з обмеженою кількістю об’єктів, а за допомогою міркувань, справедливих для нескінченної кількості об’єктів. Цей ланцюжок міркувань, що за допомогою законів логіки зводить неочевидні твердження до відомих або очевидних істин, і є математичним доведенням. Піфагор заснував школу, розквіт якої припадає на період близько 550–300 років до нашої ери. Піфагорійці створили чисту математику у формі теорії чисел і геометрії. Цілі числа вони подавали у ви гляді конфігурацій із крапок або камінчиків, класифікуючи ці числа відповідно до форми фігур («фігурні числа»), що виникали. До речі, слово «калькуляція» (розрахунок, обчислення) бере початок від грецького слова, що означає «камінчик». Числа 3, 6, 9 і т. д. піфагорійці називали трикутними, бо відповідну кількість камінчиків можна розташувати у вигляді трикутника, числа 4, 8, 16 і т. д. – квадратними, оскільки відповідну кількість камінчиків можна розташувати у вигляді квадрата, тощо.
   Коли Піфагор зробив необхідні обчислення своєї теореми, він одержав дивний результат: співвідношення діагоналі квадрата до його сторони не може дорівнювати ніякому дробу! Піфагор був вражений. Виходить, навіть серед ідеальних тіл геометрії не існує повної гармонії! Він вирішив, що цей факт слід приховати від невігласів до тих пір, поки знавці до кінця збагнуть гармонію математичного світу! Так і було зроблено. Тому вчення Піфагора не відбилося ні в якій книзі, а передавалося з вуст у вуста – з суворою забороною говорити відверто з чужинцями.
   Із простих геометричних конфігурацій виникали певні властивості цілих чисел. Наприклад, піфагорійці відкрили, що сума двох послідовних трикутних чисел завжди дорівнює певному квадратному числу. Вони відкрили, що якщо (у сучасних позначеннях) п2 – квадратне число, то n2 + 2n +1 = (η + 1)·2. Число, рівне сумі всіх своїх власних дільників, крім самого цього числа, піфагорійці називали досконалим числом. Прикладами досконалих чисел можуть бути такі цілі числа, як 6, 28 і 496. Два числа піфагорійці називали дружніми, якщо кожне із чисел дорівнює сумі дільників іншого; наприклад, 220 і 284 – дружні числа (і тут саме число виключається із власних дільників).
   Стародавні греки розв’язували рівняння з невідомими за допомогою геометричних побудов. Були розроблені спеціальні побудови для виконання додавання, віднімання, множення й поділу відрізків, добування квадратного кореня із довжин відрізків; нині цей метод називається геометричною алгеброю.
   Приведення задач до геометричного вигляду мало ряд важливих наслідків. Зокрема, числа стали розглядатися окремо від геометрії, оскільки працювати з несумірними співвідношеннями можна було тільки за допомогою геометричних методів. Геометрія стала основою майже всієї строгої математики принаймні до 1600 року. І навіть в XVIII столітті, коли вже були досить розвинені алгебра й математичний аналіз, строга математика трактувалася як геометрія, і слово «геометр» було рівнозначне слову «математик».
   Саме піфагорійцям ми багато в чому завдячуємо тією математикою, що потім була систематизовано викладена й доведена в «Началах» Евкліда. Є підстави думати, що саме вони відкрили те, що нині відомо як теореми про трикутники, паралельні прямі, багатокутники, кола, сфери і правильні багатогранники.
   Одним із найвидатніших піфагорійців став Арістокл (бл. 427–347 рр. до н. е.), який був учнем Сократа і дістав прізвисько Широкоплечий, тобто Платон, під яким і ввійшов в історію. Платон був переконаний, що фізичний світ можна збагнути лише за допомогою математики. Вважають, що саме йому належить заслуга винаходу аналітичного методу доведення. (Аналітичний метод починається із твердження, яке потрібно довести, і потім з нього послідовно виводяться наслідки доти, доки не буде доведене якесь незаперечне твердженя.) Гадають, що послідовники Платона винайшли метод доведення, який дістав назву «доведення від зворотного».
   У 387 році до нашої ери Платон заснував Академію – перший загальнодоступний університет Європи, що діяв понад вісім століть – до 529 року нашої ери. Свою назву ця школа дістала від імені давнього героя Академа. Йому був присвячений гай, у якому прогулювалися учні Платона, ведучи нескінченні диспути про все на світі. Вимога до учасників цих диспутів була одна: добре знання геометрії. Хто її засвоїв – той зможе осягти все, що йому заманеться, бо геометрія править усім світом! При цьому сам Платон, здається, не зробив великих відкриттів у математиці: основні теореми геометрії були вже відомі, а диспути вирували навколо їхнього осмислення. Так, вони дискутували над ідеєю Зенона, що шляхом послідовного поділу навпіл можна як завгодно точно встановити довжину будь-якого відрізка – навіть діагоналі квадрата, що непорівнянна з його стороною. Цікаво: чи можна таким шляхом довідатися точну довжину кола й площу круга?
   Платон

   З цією задачею учні Платона не впоралися. Вони не змогли побудувати циркулем і лінійкою ні відрізок із довжиною, що дорівнював би довжині даного кола, ні квадрат із площею, який би дорівнював площі даного кола. Так проблема «квадратури кола» ввійшла до класичних задач давнього світу – поряд з подвоєнням куба й трисекцією кута.
   У середині IV століття до нашої ери нащадки Платона піднялися на вершину класичної геометрії, водночас досягнувши меж цієї науки. Після цього школа Платона розділилася. Одні вихованці Академії взялися порядкувати в уже освоєному світі планіметрії й стереометрії; інші намагалися вийти за його межі за допомогою нових методів роботи.
   Арiстотель

   Помітне місце в історії математики посідає Арістотель із Стагіри (384–322 рр. до н. е.) – найупертіший і найнеслухняніший з учнів Платона. Після смерті вчителя він заснував в Афінах свою школу – Лікей. Пізніше Арістотель виїхав у Македонію, де став учителем царевича Александра – майбутнього завойовника Еллади й східних країн. Арістотель вважав, що головні відкриття в геометрії вже зроблені. Настав час переносити її методи в інші науки: фізику й зоологію, ботаніку й політику. Але найважливіше знаряддя геометрії – це логічний метод міркувань, що веде до вірних висновків з будь-яких вірних передумов. Цей метод Арістотель виклав у книзі «Органон»; нині її називають початком математичної логіки. Арістотель заклав основи науки логіки й висловив низку ідей щодо визначень, аксіом, нескінченності й можливості геометричних побудов.
   Євдокс

   Найбільшим із грецьких математиків класичного періоду, що поступалися за значущістю отриманих результатів тільки Архімедові, був Євдокс (бл. 408–355 рр. до н. е.). Саме він увів поняття величини для таких об’єктів, як відрізки прямих і кути. Маючи у своєму розпорядженні поняття величини, Євдокс логічно строго обгрунтував піфагорійський метод дій з ірраціональними числами. В галузях математики він перевершив навіть Піфагора, створивши першу теорію ірраціональних чисел.
   Нині здається дивним, що Євдокс не розвинув теорію чисел у більш простому напрямку. Адже він фактично відкрив числовий промінь. Чому він не відкрив числову пряму, ввівши нуль і від'ємні числа? Напевно, Євдокс потрапив у полон до вигаданого ним самим визначення: числа суть довжини відрізків. Що таке відрізок довжини (-2)? Чим він відрізняється від відрізка довжини 2? На таке питання у Євдокса не було відповіді. Інша річ, коли б від'ємні числа вже були б задіяні математиками Еллади. Наприклад, таке число може позначати борг купця – якщо позитивне число зображує його майно. Тоді майно жебрака доведеться зобразити нулем! Таке «купецьке» подання про числа склалося десь на Близькому Сході через п'ять-шість століть після відкриття Євдокса…
   Праці Євдокса дали змогу встановити дедуктивну структуру математики на основі чітко сформульованих аксіом. Йому ж належить і перший крок у створенні математичного аналізу, оскільки саме він винайшов метод обчислення площ і об’ємів, що дістав назву «методу вичерпування». Цей метод полягає в побудові вписаних і описаних пласких фігур або просторових тіл, які заповнюють («вичерпують») площу або об’єм тієї фігури чи того тіла, що є предметом дослідження. Євдоксу ж належить і перша астрономічна теорія, яка пояснює рух планет. Запропонована Євдоксом теорія була суто математичною; вона показувала, яким чином комбінації обертових сфер з різними радіусами й вісями обертання можуть пояснити нерегулярні рухи Сонця, Місяця й планет.
   Близько 300 року до нашої ери досвід багатьох грецьких математиків був зведений в одне ціле Евклідом, що написав математичний шедевр «Начала». З деяких інтуїтивно відібраних аксіом Евклід вивів близько 500 теорем, що охопили всі найважливіші результати класичного періоду. Свій твір Евклід почав з визначення таких термінів, як пряма, кут і коло. Потім він сформулював десять самоочевидних істин, таких як «ціле більше кожної із частин». І із цих десяти аксіом Евклід зміг вивести всі теореми. Для математиків текст евклідових «Начал» тривалий час був зразком чіткості. Знаменита книга «Начал» є першою й найкращою енциклопедією елементарної математики. Двадцять століть геометрію вивчали саме за цією книгою, перш ніж у неї з’явилися гідні суперниці – праці Гаусса і Лобачевського, Больяя й Ріманна. Та все одно геометрія, що її вивчають у школі, називається іменем видатного вченого – евклідовою.
   Цікаво, що Евклід у своїй енциклопедії описав лише дві різні лінії – пряму та коло. Але в його епоху вже були відомі еліпс, парабола й гіпербола. Сам Евклід вивчав ці криві, навіть написав про них окрему книгу (яка не збереглася, але стала основою для подібної книги Аполлонія). Чому він жодим словом не згадав про нові криві в «Началах»? Мабуть, тому, що Евклід і його сучасники не знали про ці лінії всього, що їм хотілося знати. Наприклад, як обчислити площу, обмежену еліпсом або параболою? Як провести дотичну до еліпса або гіперболи в даній точці? Це зумів зробити тільки Архімед – через піввіку після Евкліда. Автор «Начал» цього не зумів – і вирішив за краще промовчати про складні криві, щоб не бентежити уми новачків-геометрів необгрунтованими міркуваннями. Напевно, Евклід мав рацію: так само роблять автори сучасних підручників.
   Евклід

   Інакше стояла справа з арифметикою: тут Евклід сам був першовідкривачем. Але прикро те, що в еллінів не було вдалої системи позначень навіть для натуральних чисел. Замість цифр греки користувалися буквами; позиційної системи для запису більших чисел вони не знали. Тому навіть звичайна (для нас) таблиця множення мала в Елладі вигляд досить грубого сувою. А працювати із числами, коли вони зображені буквами, дуже непросто! Цим займається особлива наука – алгебра; сучасники Евкліда про неї не підозрювали.
   В арифметиці Евклід зробив три значних відкриття.
   • По-перше, він сформулював (без доведення) теорему про ділення з залишком.
   • По-друге, він створив «алгоритм Евкліда» – швидкий спосіб знаходження найбільшого загального дільника чисел або загальної міри відрізків (якщо вони порівнянні).
   • По-третє, Евклід перший почав вивчати властивості простих чисел і довів, що їхня множина нескінченна.
   Загальні властивості фігур, які багаторазово використовуються в міркуваннях і не виводяться зі складніших тверджень, Евклід назвав аксіомами. Наприклад: «Всі прямі кути рівні між собою». Крім аксіом, Евклід увів постулати – це твердження про властивості основних геометричних конструкцій. Наприклад: «Через дві точки проходить лише одна пряма», або «Через точку поза прямою на площині проходить лише одна пряма, що не перетинає цю пряму». Це останнє твердження про паралельність прямих на площині називають п’ятим постулатом Евкліда.
   Одна з легенд розповідає, що цар Птолемей вирішив вивчити геометрію. Але з’ясувалося, що зробити це не так просто. Тоді він покликав Евкліда й попросив визначити йому легкий шлях до математики. «До геометрії немає царської дороги», – відповів йому вчений. Так у вигляді легенди дійшов до нас цей крилатий вислів.
   Кульмінацією розвитку грецької геометрії стала основна праця Аполлонія (бл. 262–200 рр. до н. е.), яка була витримана в дусі класичних традицій. Він запропонував аналіз конічних перетинів – кола, еліпса, параболи й гіперболи. Аполлоній також став засновником кількісної математичної астрономії.

Спадкоємці Евкліда

   У звичній геометрії елліни просунулися помітно далі Евкліда. Третє століття до нашої ери уславилося іменами Арістарха й Архімеда, Ератосфена й Аполлонія. Всі вони були скоріше універсалами, ніж суто математиками. Арістарха (бл. 310–230 рр. до н. е.) вважають астрономом, оскільки він перший обгрунтував гіпотезу про те, що всі планети обертаються навколо Сонця. Але міркування Арістарха – це вже стереометрія. Цей учений припустив, що Сонце може мати інший розмір, ніж Місяць! Так у давній задачі з’явилася нова невідома величина. Щоб упоратися з нею, потрібно було винайти ще одне рівняння, а для цього – застосовувати новий метод спостереження за небом.
   Арістарх зробив це, міркуючи просто й красиво, вирахувавши всього один кут у величезному трикутнику Земля – Місяць – Сонце. Він дійшов висновку, що місячний діаметр утроє менший від земного, а діаметр Сонця в сім разів більший за діаметр Землі. З цих грубих розрахунків учений зробив головний вірний висновок: Сонце більше Землі, і тому Земля обертається навколо Сонця! На цю тему Арістарх написав твір «Про розміри й відстані Сонця й Місяця». Так астрономія одержала, нарешті, від геометрії вірну модель Сонячної системи. На жаль, модель Арістарха виявилася занадто грубою для астрономічних розрахунків. Тому більшість звіздарів не довіряли їй, а користувалися більш могутньою обчислювальною технікою Гіппарха.
   Учні Ератосфена дали йому прізвисько «Бета» – за назвою другої букви алфавіту, оскільки він був «другим фахівцем» у дуже багатьох галузях. «Альфою» у математиці був його найкращий друг і ровесник – Архімед із Сіракуз, а в геометрії став другим після Евкліда.
   Ератосфен (276–194 рр. до н. е.) склав першу таблицю простих чисел, так зване «сито Ератосфена», і помітив, що багато простих чисел групуються в пари близнюків: такими є числа 11 і 13, 29 і 31, 41 і 43. Евклід довів, що кількість усіх простих чисел нескінченна, замислився, чи вірно те ж саме для чисел-близнюків? З цією задачею він не впорався. Але він не здогадувався, що таємниця чисел-близнюків не буде відкрита навіть через 22 століття! У наші дні «проблема близнюків» залишається єдиною нерозв’язаною задачею, що дісталася нам від античності, і невідомо, чи впораються з нею математики ХХІ століття.
   У стереометрії (тобто у математичній астрономії й географії) Ератосфену поталанило більше. Він склав карту неба з 675 зірками та карту відомих на той час областей Землі: від Британії до Цейлону, від Балтики й Каспію до Ефіопії. Залишалося вирахувати розмір земної кулі і її положення відносно Сонця – тобто, кут нахилу земної осі до тієї площини, у якій рухаються Земля й Сонце. Те й інше Ератосфен зумів розрахувати на основі нескладних спостережень і простих малюнків. Наприклад, для визначення радіуса Землі виявилося достатньо довідатися про відстань від Александрії до Сіени (Асуана) і одночасно в цих двох містах виміряти висоту Сонця опівдні. Але мало хто з еллінів повірив цьому розрахунку. Адже виходило, що вся відома грекам Ойкумена – населена частина Землі – становить менше однієї сотої частки від поверхні земної кулі. «Не може бути, щоб ми так мало знали!» – таким був одностайний вирок освічених жителів Александрії, і вони відкинули розрахунки Ератосфена.
   Успішно перевіривши географію за допомогою геометрії, Ератосфен вирішив перевірити історію за допомогою арифметики. Він знав, що від епохи Піфагора й Фалеса до його епохи минуло приблизно 300 років. Але який час минув від Гомера, або від героїв Троянської війни до Піфагора? Що відбувалося в ті далекі часи в Єгипті? Скільки століть простояли до тієї пори великі піраміди? Ератосфен був упевнений, що всі природні факти можна впорядкувати за допомогою здорового глузду й строгої математики. У датуванні Троянської війни він помилився менш ніж на сто років! Тож були підстави для віри у всемогутність точних наук у вчених Александрійської епохи…
   Найбільші підстави для такої впевненості мав Архімед із Сиракуз (287–212 рр. до н. е.) – найвидатніший учений в історії Еллади й усієї античності. За своїми уподобаннями він був скоріше фізиком, але за методами роботи – універсальним геометром і початківцем-алгебраїстом. Юність Архімеда минула в Александрії. Він там навчався в Арістарха й Конона – учня Евкліда. Там же він і потоваришував з Ератосфеном. Все життя друзі листувалися, причому Ератосфен являв собою весь колектив Александрійського музею, а один Архімед уособлював цілу академію наук.
   Генія в науці можна розпізнати за тим, як швидко він осягає досягнення попередників і як нестримно починає рухатися вперед із цього стартового рубежу. Для Архімеда стартовими опорами стали Евклід і Євдокс. Найвищим досягненням Євдокса була геометрична теорія чисел, що привела до побудови числового променя із точок. Найвищим відкриттям Евкліда стало обчислення об’єму піраміди методом «вичерпування», коли фігура розбивається на тонкі скибочки-призми, а їхні об’єми підсумовуються за допомогою арифметики.
   Зіставивши ці дві теорії, Архімед зрозумів, що будь-яку пласку або просторову фігуру можна розбити на дрібні області-піщини (так само як Євдокс розбив на точки промінь), а потім підсумувати площі або об’єми піщин, так само як Евклід підсумував об’єми скибочок піраміди. При цьому арифметика й геометрія працюють дуже злагоджено, передаючи задачу з долоні в долоню, поки вона не буде вирішена. Звичайно, це важке ремесло – навіть два різних ремесла; але Архімедові обидва вони були під силу.
   Архімед

   Незважаючи на незручний запис чисел, Архімед упевнено підсумував послідовності натуральних чисел, їхніх квадратів та кубів. Використовуючи ці суми й не знаючи таких понять «з майбутнього», як багаточлен та інтеграл, Архімед, по суті справи, інтегрував багаточлени – і жодного разу не помилився в цій роботі! Спочатку він обчислив площу фігури, обмеженої відрізками параболи й прямої. Потім були знайдені об’єми тіл, отриманих при обертанні цієї фігури навколо різних осей; за цими даними Архімед знайшов центр ваги плоскої фігури. Нині розв’язування таких задач – звичайнісінька річ для студентівматематиків, що здають залік на першому курсі; але зробити це вперше в історії було вкрай важко!
   Архімед відкрив перший закон гідростатики, згідно з яким на всяке тіло, занурене у рідину, діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі витисненої рідини. Відповідно до легенди, цей закон, який був названий його ім’ям, Архімед відкрив під час купання. Від радості, що його охопила, він голий вибіг на вулицю з вигуком: «Евріка!» («Відкрив!»)
   Архімед сформулював багато теорем про площі й об’єми складних фігур і тіл, які він цілком строго довів методом вичерпування. Архімед завжди прагнув одержати точні рішення й знаходив верхні й нижні оцінки для ірраціональних чисел. Архімед довів також кілька теорем, що містили нові результати геометричної алгебри. Йому належить формулювання задачі про розсічення кулі площиною так, щоб об’єми сегментів перебували між собою в заданому відношенні. Архімед розв’язав цю задачу, відшукавши перетин параболи й рівносторонньої гіперболи.
   Архімед був найвидатнішим математичним фізиком стародавності. Для доведення теорем механіки він використовував геометричні міркування. Його твір «Про плаваючі тіла» заклав основи гідростатики.
   Скоривши перші вершини на невідомому хребті математичного аналізу, Архімед пішов далі: його захопила головна проблема астрономії – рух планет навколо Сонця. Архімед був упевнений: існує простий опис цього руху, і знайти його можна тим самим «методом піщин»! Пройти цей шлях до кінця Архімед не зумів. Ця велика проблема була вирішена тільки через 18 століть. Але у 212 році до нашої ери гордий консул Метелл, який узяв штурмом Сиракузи, доставив у Рим небувалий трофей: металеву модель Сонячної системи з рухливих сфер і кіл, що її виготовив сам Архімед. Той експериментував з нею, коли йому бракувало прямих спостережень над зірками й планетами. У наші дні такий прилад називають «механічним аналоговим комп’ютером». Римляни із подивом дивилися на чудернацьку іграшку, не підозрюючи про значення цієї моделі.
   У ІІ столітті до нашої ери розквіт грецької науки припинився. Математика стала грою розуму для обраних, і приплив талановитої молоді в ряди вчених скоротився. Саме тому набагато зменшилася кількість великих астрономів і геометрів, що живуть одночасно й спонукують один одного до нових відкриттів. Тепер юнаки осягали науку за книгами, які роками або й навіть десятиліттями припадали пилом в бібліотеках в очікування гідного читача. Так зникло могутнє вчене співтовариство Еллади; залишився негустий розсип геніїв, не здатних жити без наукової творчості й здатних займатися цим поодинці.
   Найяскравішим представником цього покоління є Гіппарх із Нікеї, що жив між 190 і 120 роками до нашої ери. Замолоду він побував в Александрії, але не зустрів там великих учених і оселився на острові Родос, побудувавши там астрономічну обсерваторію. Через піввіку після смерті Архімеда Гіппарх взяв його справу у свої руки. Але підхід Гіппарха до математики був трохи іншим. Він не надавав великого значення геометричним побудовам і доказам, а намагався по можливості замінити їх розрахунками. Так, Гіппарх заклав основи алгебри й алгебричної (тобто обчислювальної) астрономії. Це було за 1000 років до появи слова «алгебра» і за 700 років до винаходу позиційного запису чисел. Це зумовило низку значних відкриттів у галузі астрономії. Завдяки цьому в науці з’явилася модель епіциклів. Питання про те, чи справедлива гіпотеза про епіцикли, Гіппарху, мабуть, на думку не спадало. Вона дає змогу вірно передбачати. Отже, вона вірна! Заперечити проти такого міркування зміг би тільки Ньютон, озброєний законом всесвітнього тяжіння й іншими аксіомами фізики. Але в античному світі цих аксіом ніхто не знав… Однак є незаперечним той факт, що це був успіх обчислювальної астрономії у вимірі космічних відстаней. Наступний великий успіх – вимірювання відстаней до планет – прийшов до астрономів лише в XVII столітті, після появи телескопів і точних маятникових годинників.
   Гіппарх

   Отже, Гіппарх перший підійшов до створення алгебри й тригонометрії. Але засновником алгебри буде більш справедливо вважати Діофанта з Александрії: він перший почав ставити й розв’язувати алгебраїчні рівняння. Було це в ІІІ столітті нашої ери, коли Римська імперія переживала першу кризу, а підпільна християнська релігія поширилася на все Середземномор’я. Антична вченість збереглася лише на деяких острівцях, як, наприклад, Александрійська бібліотека, що зазнала величезних збитків під час пожежі ще в 47 році до нашої ери. Але математикам було легше відновити втрачені знання, ніж історикам або літературознавцям. Тому в епоху Діофанта жодне досягнення геометрії ще не було забуте. В арифметиці ж з’явилося щось нове, не відоме ні Евкліду, ні Ератосфену – від’ємні (негативні) числа.
   Для майбутньої алгебри Гіппарх залишив цінну спадщину: перші таблиці довжин хорд, що стягують дуги даної кутової міри. Нині ми називаємо їх таблицями синусів; але це слово з'явилося значно пізніше.
   Діофант уже вільно працював з ними; він знав, що «мінус, помножений на мінус, дає плюс». Можливо, що саме він угадав це неочевидне правило – хоча зрозуміти його геометричний зміст змогли лише в XVII столітті, коли європейські математики звикли до комплексних чисел. Але поняттям нуля й позиційним записом цілих чисел Діофант не володів. Книга Діофанта «Арифметика» стала основою алгебри й теорії чисел. У ній автор вивчав розв’язки рівнянь-багаточленів у цілих числах. Він розв’язав знамените рівняння Піфагора: х2+ y2 = z2 – і таким шляхом знайшов усі прямокутні трикутники із цілими катетами й цілою гіпотенузою.
   Звичайно, Діофант намагався розв’язати й наступне рівняння цього типу: х3 + у3 = z3 – але жодної потрібної трійки чисел він не знайшов. Тільки через 14 століть випадково вціліла книга Діофанта з Александрії потрапила до рук його гідного спадкоємця – П’єра де Ферма з Тулузи. У результаті – народилася Велика теорема Ферма…
   Відкриття Гіппарха збереглися не випадково. Адже астрономія в усі століття була популярнішою за математику – через її спорідненість з астрологією, що завжди процвітала. У Гіппарха через 300 років знайшовся гідний учень – Клавдій Птолемей. Він склав вдалий підручник: «Мегале Математике Синтаксис», де виклав систему Гіппарха з усіма необхідними обгрунтуваннями. Цей посібник набув величезної популярності серед астрономів і астрологів і став урівень із великою книгою Евкліда. У перекладі з грецької книга Птолемея має назву «Правила Великого Вчення».
   Після завоювання Єгипту римлянами в 31 році до нашої ери велика грецька александрійська цивілізація занепала. Ціцерон з гордістю твердив, що, на відміну від греків, римляни не мрійники, а тому застосовують свої математичні знання на практиці, маючи з них реальну користь. Однак у розвиток самої математики внесок римлян був незначний. Римська система числення грунтувалася на громіздких позначеннях чисел. Від неї залишились лише деякі числа, але й ними користуються не математики (наприклад, 1 – І, 5 – V, 10 – Х), а історики для позначення століть, та письменники для позначення розділів.
   Довгу назву книги Птолемея («Мегале Математике Синтаксис») араби скоротили до першого слова: вийшла «Велич» – «Альмагест». Новим європейцям сподобалося інше слово – «Вчення», або математика. Саме так ми з ХІІ століття називаємо геометрію, арифметику, алгебру й усі науки, які пізніше народилися на зіткненні зі строгою античною мудрістю.
   Під час занепаду математики в Європі спадкоємцями греків щодо збереження та розвитку цієї науки стали індійці. Математики Індії не займалися доказами, але вони ввели оригінальні поняття й ряд ефективних методів. Саме вони вперше ввели нуль і як кардинальне число, і як символ відсутності одиниць у відповідному розряді. Махавіра (850 р. н. е.) встановив правила операцій з нулем, гадаючи, однак, що ділення числа на нуль залишає число незмінним. Правильну відповідь для випадку ділення числа на нуль дав Бхаскара (1114 р.), йому ж належать правила дій над ірраціональними числами. Саме індійці ввели поняття від’ємних чисел для позначення боргів. Їхнє раннє використання ми знаходимо в Брахмагупти (бл. 630 р.). Аріабхата (476 р.) пішов далі Діофанта у використанні нескінченних дробів при розв’язанні неозначених рівнянь.
   Наша сучасна система числення, заснована на позиційному принципі запису чисел і нуля як кардинального числа й використанні позначення порожнього розряду, називається індо-арабською. На стіні храму, побудованого в Індії близько 250 року до нашої ери, виявлено кілька цифр, що нагадують своїми обрисами наші сучасні цифри.
   Таблиця еволюції індійських цифр у сучасні

   Близько 800 року індійська математика сягнула Багдада. Найбільших успіхів досяг согдієць Мухаммед ібн Муса аль-Хорезмі (тобто родом з Хорезма – з берегів Сирдар’ї, 787–850). Головна книга Хорезмі названа скромно: «Книга про відновлення й протиставлення», тобто про техніку розв’язування алгебричних рівнянь. Арабською мовою ця книга має назву «Кітаб аль-джебр валь-мукабала» (830). Пізніше при перекладі на латину арабська назва трактату була збережена, і з часом «аль-джебр» скоротили до «алгебри». Інше відоме слово «алгоритм», тобто чітке правило розв’язування задач певного типу, пішло від імені «аль-Хорезмі».
   Аль-Хорезмі

   Третій відомий термін, уведений у математику знаменитим согдійцем аль-Хорезмі, – це «синус», хоча з уведенням цього терміна трапився курйоз. Геометричний зміст синуса – це половина довжини хорди, що стягує дану дугу. Хорезмі назвав цю пряму красиво й точно: «тятива лука». Арабською це звучить як «джейяб». Але в арабському алфавіті є тільки приголосні букви; голосні ж зображуються «огласовками» – рисками, на зразок наших лапок і ком. Людина, мало обізнана з цим, читаючи арабський текст, нерідко плутає огласовки; так трапилося і під час перекладання книги Хорезмі латиною. Замість «джейяб» – «тятива» – перекладач прочитав «джіба» – «бухта»; латиною це пишеться «sinus». З того часу європейські математики використовують це слово, не переймаючись його справжнім змістом.
   Інший видатний арабський математик Ібн аль-Хайсам (бл. 965-1039 рр.) відкрив спосіб розв’язування квадратних і кубічних алгебричних рівнянь. Арабські математики, у тому числі й Омар Хайям, уміли розв’язувати деякі кубічні рівняння за допомогою геометричних методів, використовуючи конічні перетини.
   Омар Хайям (1048–1131) з Нішапура, більш відомий нині як чудовий поет, відкрив кілька способів наближеного обчислення кубічних коренів. Це була блискуча ідея: дістатися невідомих чисел, використовуючи добре знайомі криві! Як тільки в XVII столітті Рене Декарт додав до неї другу ідею – описати будь-яку криву за допомогою чисел – народилася аналітична геометрія, у якій розв’язування алгебричних рівнянь поєднано з теорією чисел і з наочною геометрією. Передчуваючи цей зв’язок, Омар Хайям провів багато цікавих обчислювальних дослідів. Він знайшов наближені способи ділення кола на 7 або 9 рівних частин; склав докладні таблиці синусів і з великою точністю обчислив число π.
   Омар Хайям

   Арабські астрономи ввели в тригонометрію поняття тангенса й котангенса. Насреддін Tyci (1201–1274) у «Трактаті про повний чотирикутник» систематично виклав пласку й сферичну геометрії й першим розглянув тригонометрію окремо від астрономії.
   І все-таки найважливішим внеском арабів у математику стали їхні переклади й коментарі до великих творів греків. Завдяки їм Європа знову познайомилася із цими працями після завоювання арабами Північної Африки й Іспанії, а пізніше праці греків були перекладені латиною.

На підступах до сучасної математики

   Серед кращих геометрів епохи Відродження були художники, що розвинули ідею перспективи, яка вимагала геометрії зі збіжними паралельними прямими. Художник Леон Баттіста Альберті (1404–1472) ввів поняття проекції й перетину. Прямолінійні промені світла від ока спостерігача до різних точок зображуваної сцени утворюють проекцію; перетин утворюється при проходженні площини через проекцію. Щоб намальована картина виглядала реалістичною, вона мала містити такий перетин. Поняття проекції й перетину породжували суто математичні питання. Наприклад, які загальні геометричні властивості мають перетин і вихідна сцена, які властивості двох різних перетинів тієї ж самої проекції, утворених двома різними площинами, що перетинають проекцію під різними кутами? З таких питань і виникла проективна геометрія. Її засновник Ж. Дезарг (1593–1662) за допомогою доказів, заснованих на проекції й перетині, уніфікував підхід до різних типів конічних перетинів, які Аполлоній розглядав окремо.
   Настання XVI століття в Західній Європі ознаменувалося важливими досягненнями в алгебрі й арифметиці. Так, італійські математики Н. Тарталья (1499–1577), С. Даль Ферро (1465–1526), Л. Феррарі (1522–1565) і Д. Кардано (1501–1576) знайшли загальні розв’язання рівнянь третього й четвертого степенів. Щоб надати алгебричним міркуванням і їхнім записам більшої точності, були введені символи, в тому числі «+», «—», «xn» (степінь), «√» (корінь), «=», «>» і «<». Та найістотнішим нововведенням стало систематичне використання французьким математиком Франсуа Вієтом (1540–1603) літер для позначення невідомих і постійних величин. Це нововведення дало йому змогу знайти єдиний метод розв’язання рівнянь другого, третього й четвертого степенів. Тим самим він впровадив у науку визначну ідею про можливість виконувати алгебричні перетворення над символами, тобто ввести поняття математичної формули. Цим він вніс вирішальний вклад у створення буквеної алгебри, чим завершив розвиток математики епохи Відродження й підготував грунт для появи досягнень Ферма, Декарта, Ньютона.
   Франсуа Вієт

   У 1584 році у відповідь на настійну вимогу герцогів де Гізів Вієта відсторонили від посади й вислали з Парижа. Саме на цей період припадає пік його наукових досягнень. Учений поставив собі за мету створення всеохоплюючої математики, що дає змогу розв’язувати будь-які задачі. Він був переконаний у тому, «що повинна існувати загальна, невідома ще наука, що охоплює і дотепні побудови новітніх алгебристів, і глибокі геометричні пошуки давніх».
   Вієт виклав програму своїх досліджень у трактатах, об’єднаних загальним задумом і написаних математичною мовою нової буквеної алгебри, та у виданому в 1591 році знаменитому «Введенні в аналітичне мистецтво», що разом мали скласти новий напрямок у науці. На жаль, цього не сталося. Однак головний задум ученого здійснився: почалося перетворення алгебри на потужне математичне обчислення. Саму назву «алгебра» Вієт у своїх працях замінив словами «аналітичне мистецтво».
   Цікаво, що Франсуа Вієт розпочав свою кар'єру як адвокат, а згодом був секретарем і вчителем доньки хазяїна у знатній гугенотській родині де Партене. Саме завдяки викладанню прокинулася цікавість молодого юриста до математики. В 1671 році Вієт перейшов на державну службу, ставши радником парламенту, а потім радником короля Франції Генріха III. У 1580 році Генріх III призначив Вієта на важливий державний пост, що надавав право контролювати від імені короля виконання розпоряджень у країні й скасовувати накази великих феодалів. Перебуваючи на державній службі, Вієт залишався вченим. Він зажив слави тим, що зумів розшифрувати код перехопленого листування короля Іспанії з його представниками в Нідерландах, завдяки чому король Франції був завжди в курсі дій своїх супротивників.
   Вієт показав що оперуючи із символами, можна одержати результат, застосовуваний до будь-яких відповідних величин, тобто розв’язати задачу в загальному вигляді. Це поклало початок докорінному перелому в розвитку алгебри: стало можливим буквене обчислення. Він першим став застосовувати дужки, які, щоправда, в нього мали вигляд не дужок, а риски над багаточленом.
   Символіка Вієта дала також змогу розв’язувати й конкретні задачі, й знаходити загальні закономірності, повністю обгрунтовуючи їх. Таким чином, алгебра виокремилася в самостійну галузь математики, що не залежить від геометрії. Від Вієта нам залишилися й формули для обчислення коренів квадратних рівнянь, які мають назву теореми Вієта.
   До видатних відкриттів XVII століття слід віднести введення в обіг десяткових дробів і правил арифметичних дій з ними. Але, щоб упоратися з величезним обсягом обчислень, необхідних, наприклад, для астрономів, потрібні були зовсім інші методи. Тому справжнім тріумфом став винахід логарифмів. Логарифми винайшли незалежно один від одного Джон Непер у 1614 році і Й. Бюргі десятьма роками пізніше. Їхня мета була однакова, але підходи – різними. Непер кінематично виразив логарифмічну функцію, що дало йому змогу, по суті, ступити в майже незвідану царину теорії функцій. Бюргі залишився на грунті розгляду дискретних прогресій. Слід зазначити, що обидва визначення логарифма відрізнялися від сучасного. І все ж першовідкривачем логарифмів вважають шотландського барона Непера (1550–1617).
   До відкриття логарифмів він прийшов не пізніше 1594 року, але лише через двадцять років опублікував своє «Описання дивовижної таблиці логарифмів» (1614), що містило визначення Неперових логарифмів, їхні властивості й таблиці логарифмів синусів і косинусів від 0 до 90 градусів з інтервалом в одну хвилину, а також різниці цих логарифмів, що дають логарифми тангенсів. Теоретичні висновки й пояснення способу обчислення таблиці він виклав в іншій праці, підготовленій, можливо, до «Описання», але виданій посмертно, в «Побудові дивної таблиці логарифмів» (1619).
   Джон Непер

   Непер із самого початку вводив поняття логарифма для всіх значень безупинно мінливих тригонометричних величин – синуса й косинуса. В основу визначення логарифма Непером покладена кінематична ідея, що узагальнює на безперервні величини зв’язок між геометричною прогресією й арифметичною прогресією показників її членів.
   Термін «логарифм» належить Неперу. Він виник зі сполучення грецьких слів «відношення» і «число» і означає «відношення чисел». Спочатку Непер користувався іншим терміном – «штучні числа».
   Таблиці Непера, пристосовані до тригонометричних обчислень, були незручні для дій з даними числами. Щоб усунути ці недоліки, Непер запропонував скласти таблиці логарифмів, прийнявши за логарифм одиниці нуль, а за логарифм десяти просто одиницю. Цю пропозицію він зробив у ході обговорення із професором математики Генрі Брігсом (1561–1631), що відвідав його в 1615 році, який і удосконалив таблиці логарифмів. Свої результати він опублікував у книжці «Перша тисяча логарифмів», де були подані десяткові логарифми чисел від 1 до 1000 із чотирнадцятьма знаками. Пізніше, уже ставши професором Оксфорда, він видав «Логарифмічну арифметику» (1624), де вміщувалися чотирнадцятизначні логарифми чисел від 1 до 20 000 і від 90 000 до 100 000.
   Згодом пропуски, що існували в таблицях, були доповнені голландським продавцем книг і аматором математики Андріаном Флакком (1600–1667). Свій внесок зробили і Е. Гунтер, В. Отред, Дж. Спейделл. Термін «натуральні логарифми» ввели П. Менголі (1659), а трохи пізніше – Н. Меркатор (1668).
   Логарифмічна лінійка

   До кінця XVII століття остаточно склалося розуміння логарифмів як показників степеня з будь-яким позитивним числом, відмінним від одиниці як основи. Та й практичне значення обчислених таблиць було дуже великим. Але відкриття логарифмів мало також найглибше теоретичне значення. Воно викликало до життя дослідження, про які не могли й мріяти перші винахідники, у яких було на меті тільки полегшити й прискорити арифметичні й тригонометричні викладки з великими числами. Відкриття Непера, зокрема, відкрило шлях у галузі нових трансцендентних функцій і дало потужний стимул для розвитку аналізу.

Стрімкий рух у сьогодення

   Аналітична, або координатна, геометрія була створена незалежно П’єром Ферма (1601–1665) і Рене Декартом (1596–1650) для того, щоб розширити можливості Евклідової геометрії в задачах на побудову. Однак Ферма розглядав свої роботи лише як переформулювання твору Аполлонія. Справжнє відкриття – усвідомлення всієї потужності алгебричних методів – належить Декарту. Евклідова геометрична алгебра для кожної побудови вимагала винаходу свого оригінального методу й не могла запропонувати кількісну інформацію, яка є необхідною для науки. Декарт вирішив цю проблему: він формулював геометричні задачі алгебрично, розв’язував алгебричне рівняння й лише потім будував отриманий розв’язок – відрізок, що мав відповідну довжину. Власне, аналітична геометрія виникла, коли Декарт почав розглядати невизначені задачі на побудову, розв’язками яких є не одна, а кілька можливих довжин.
   Декарт не любив довгих розрахунків. Він віддавав перевагу наочно-геометричним міркуванням і хотів працювати цим методом з будь-якими складними кривими – а не тільки із прямими й колами, як це робив Евклід. Для цієї роботи корисно вміти складати, віднімати й множити криві між собою – так само, як ми це робимо із числами. І Декарт винайшов такий спосіб, помітивши, що багато кривих на площині задаються простими рівняннями – після того, як ми введемо на площині координати, зобразивши кожну точку двома числами (х, у). Наприклад, параболу можна задати рівнянням b = x2, або рівнянням x = √b.
   І взагалі: кожне рівняння з двома невідомими F (х, у) = 0 задає на координатній площині якусь криву! Але над рівняннями легко здійснювати будь-які арифметичні операції. Всі вони набувають геометричного сенсу, коли ми креслимо або подумки уявляємо криву, що відповідає даному рівнянню.
   Рене Декарт

   Таким чином, плоскі криві можна описувати на одній із двох еквівалентних мов: наочно-геометричній, або аналітичній – через формули. Двобічний «словник», що перекладає фрази однієї з цих мов на рівнозначні фрази іншої мови, Декарт назвав аналітичною геометрією.
   Він помітив, що методи цієї науки неважко перенести й у простір. Для цього досить зобразити будь-яку точку простору трійкою чисел (х, у, z). Після цього будь-яке рівняння із трьома невідомими F (х, у, z) = 0 задає у просторі якусь поверхню, а перетинання двох поверхонь задає криву в просторі. Щоправда, незрозуміло: чи всяку криву в просторі можна задати системою з двох рівнянь із трьома невідомими? Він створив так званий «Декартів лист» – алгебричну криву третього степеня. Класифікувати ж усі плоскі криві цього степеня Декарт «полінувався»: це вимагало складних обчислень, які пізніше виконав Ньютон.
   Декарт був не тільки видатним математиком, але й філософом. Він не брав на віру вчення Біблії та античних авторів. Саме йому належать слова: «Єдине, в чому я певен, це те, що я існую» або «Мислю, отже існую».
   Декарт не став усерйоз розвивати аналітичну геометрію тривимірного простору: він не міг ще знати, які задачі будуть там найцікавішими й корисними. І звичайно, Декарт жодним словом не згадав про чотиривимірний або багатовимірний простір, точки якого зображуються наборами із чотирьох або більше чисел: (х, у, z, t,…). Аналітичний підхід найбільш зручний для дослідження багатовимірних просторів; але в середині XVII століття будь-яке згадування про таку можливість було б розцінене як нісенітниця або як єресь. Декарт любив життєві зручності й не хотів зазнати долі Галілея, засудженого церквою за занадто сміливі думки про наукове пізнання природи.
   Ще спокійніше прожив своє життя великий сучасник і співвітчизник Декарта – П’єр Ферма з Тулузи (1601–1665). За спеціальністю він був юристом, а математикою займався на дозвіллі, читаючи книги класиків та сучасників і міркуючи про задачі, які ті не помітили або не зуміли розв’язати. Зрозуміло, що за такого способу роботи Ферма в жодній галузі науки не був першим. У математичний аналіз він увійшов слідом за Архімедом і Кеплером, в аналітичну геометрію – слідом за Декартом, у теорію ймовірностей – слідом за Паскалем, у теорію чисел – слідом за Діофантом. Але в кожному випадку Ферма додавав до вже готової або щойно народженої науки такі важливі відкриття, що перевершити його результати змогли тільки генії через багато десятиліть.
   Аналітична геометрія повністю поміняла ролями геометрію й алгебру. Як зауважив великий французький математик Ж. Л. Лагранж, «поки алгебра й геометрія рухалися кожна своїм шляхом, їхній прогрес був повільним, а використання обмеженим. Але коли ці науки об’єднали свої зусилля, вони запозичили одна в одної нові життєві сили й відтоді швидкими кроками попрямували до досконалості».
   Велику заслугу Ферма перед наукою вбачають звичайно у введенні ним нескінченно малої величини в аналітичну геометрію, подібно до того, як це трохи раніше було зроблено Кеплером стосовно геометрії давніх. Він зробив цей важливий крок у своїх працях 1629 року про найбільші й найменші величини – з того почалися ті дослідження Ферма, які стали однією з найважливіших ланок в історії розвитку не тільки вищого аналізу взагалі, але й аналізу нескінченно малих величин зокрема.
   П’єр Ферма

   Наприкінці двадцятих років XVII століття Ферма відкрив методи знаходження екстремумів і дотичних, які, із сучасної точки зору, зводяться до пошуку похідної. Систематичні методи обчислення площ до Ферма розробив італійський учений Кавальєрі. Але вже в 1642 році Ферма відкрив свій метод обчислення площ, обмежених будь-якими «параболами» і будь-якими «гіперболами». Він довів, що площа необмеженої фігури може бути кінцевою.
   Ферма одним із перших взявся за розв’язання задачі випрямлення кривих, тобто за обчислення довжини їхніх дуг. Він зумів звести цю задачу до обчислення певних площ.
   Таким чином, поняття «площі» у Ферма набувало вже досить абстрактного характеру. До визначення площ зводилися задачі на випрямлення кривих. Обчислення складних площ він зводив за допомогою підстановок до обчислення більш простих площ. Залишався тільки крок, щоб перейти від площі до ще більш абстрактного поняття «інтеграл».
   У Ферма є багато інших досягнень. Він першим прийшов до ідеї координат і створив аналітичну геометрію. Він розв’язував також задачі із теорії ймовірностей. Але Ферма не обмежувався однією лише математикою, він вивчав й фізику, де йому належить відкриття закону поширення світла в середовищах, причому спочатку він обгрунтував це математично, а потім фізично.
   Наприклад, Ферма зацікавився простою задачею: за яких умов функція досягає мінімуму або максимуму в даній точці? З’ясувалося, що необхідна проста умова: похідна від функції в цій точці повинна дорівнювати нулю. Нині цей факт відомий кожному старшокласникові: він допомагає будувати графіки досить складних функцій. Але Ферма спробував поширити своє відкриття на функції, що залежать від багатьох змінних, – і зробив чудове фізичне відкриття: світло рухається по такій траєкторії, на якій похідна за часом дорівнює нулю. Отже, час руху світла вздовж цієї траєкторії – мінімальний! Лише через сто років П’єр Мопертюі й Леонард Ейлер відкрили аналог принципу Ферма в механіці, що стало першим кроком до об’єднання механіки з оптикою в межах квантової теорії.
   Теорію чисел Ферма будував майже на самоті: з усіх його сучасників тільки англієць Джон Валліс цікавився нею. Але Ферма мав важливу перевагу перед Валлісом і перед своїм античним попередником – Діофантом. Він добре знав аналітичну геометрію й оперував рівняннями так само вільно, як числами. Тому він легко довів «малу теорему Ферма» і довідався, що існують кінцеві поля залишків – системи чисел, улаштовані (у змісті арифметики) ще зручніше, ніж множина цілих чисел.
   Розвиваючи цей успіх, Ферма зацікавився Піфагоровими трійками чисел – цілими розв’язками рівняння (х2 + у2 = z2). Чи існують цілі розв’язки рівнянь (Xn + уп = zn) при п > 2? Діофант не знайшов жодного рішення для п = 3; Ферма довів, що таких розв’язків не може бути. Залишалося узагальнити метод Ферма для інших простих показників: 5, 7, 11… На жаль, Ферма не став проводити в цьому разі докладних розрахунків – і тому не помітив дивних алгебричних перешкод на своєму шляху. Наприклад, при n = 5 необхідно використовувати комплексні числа: це першим помітив у кінці XVIII століття Адрієн Лежандр, а Ферма все життя сумнівався в корисності таких чисел! Далі, при п = 23 доведення «великої теореми Ферма» натрапило на неоднозначне розкладання комплексних чисел певного вигляду на прості множники. Цю нову революцію в алгебрі викликав Ернст Куммер у середині ХІХ століття…
   Куммер, займаючись Великою теоремою Ферма, побудував арифметику для цілих алгебричних чисел певного вигляду. Це дало йому змогу довести Велику теорему для деякого класу простих показників n. У наш час справедливість Великої теореми перевірена для всіх показників n менше 5500. Зазначимо також, що Велика теорема пов’язана не тільки з алгебричною теорією чисел, але й з алгебричною геометрією, що нині інтенсивно розвивається. Але Велика теорема в загальному вигляді ще не доведена, хоча існує багато варіантів її обгрунтування, в тому числі й на філософському рівні. Через це тут можна сподіватися на нові відкриття.
   У цілому діяльність Ферма (як і діяльність Архімеда) можна порівняти з роботою повноцінної академії наук. Але, на жаль, за життя Ферма таких академій ще не було! Не було й наукових журналів для публікації нових відкриттів. Тому всі великі вчені Європи дізнавалися про нові досягнення своїх колег із взаємного листування. Деякі аматори математики (як абат Мерсенн у Парижі) зробили таке листування своїм головним внеском у науку. Вони регулярно повідомляли всіх своїх кореспондентів про те, які факти відкрили їхні далекі колеги. Якщо новий факт привертав чиюсь увагу, то від автора вимагали письмового підтвердження. У противному разі повідомлення зависало в повітрі.
   Такий «аматорський» стиль колективної роботи в науці був неминучий і навіть зручний, поки в усій Європі одночасно працювали два-три десятки великих учених. Як тільки їх стало більше – загальну роботу довелося організовувати за допомогою наукових установ. Цей перелом відбувся в 60-ті роки XVII століття. В 1662 році про своє народження оголосило Королівське товариство в Лондоні, а в 1666 році за його зразком виникла Паризька Академія наук. Вони відразу почали публікувати звіти про свої збори й про ті відкриття, які там обговорювалися. Із цього моменту науковий інтернаціонал європейців почав розвиватися швидко й невтримно. У рік смерті Ферма в науку ввійшов найславетніший учений XVII століття – Ісаак Ньютон.

Ньютонова революція в науці

   Так математики й фізики називають останню третину XVII століття й першу чверть XVIII століття – той час, коли був створений сучасний математичний аналіз (обчислення похідних та інтегралів від будь-яких гладких функцій). Цю величезну роботу здійснила велика група вчених з різних країн Європи. Але англієць Ісаак Ньютон (1643–1727) посідає серед них особливе місце. Він був надзвичайно талановитий, йому багато в чому пощастило, і він блискуче скористався цим.
   Ньютон дійсно вніс у науку стільки нового, скільки внесли Евклід і Архімед, разом узяті. Або Гільберт і Архімед – теж узяті разом. Але Ньютон придумав все це один – і за лічені роки! Втім, сам Ньютон не вважав себе одинаком у науці. Ось його слова: «Якщо я бачив далі, ніж інші, це тому, що стояв на плечах гігантів». Але, звичайно, не тільки тому! Ньютон сам був гігантом; його постать помітно піднімається над плечима Декарта, Кеплера й Галілея. Адже Ньютон винайшов першу систему аксіом математичної фізики: це рівнозначно досягненням Евкліда в геометрії. Він створив також математичний аналіз гладких функцій: це можна порівняти з винаходом планіметрії або алгебри. Для таких успіхів треба бути не тільки генієм, але ще треба й вчасно народитися.
   Ісаак Ньютон

   Наукову революцію почав Декарт і продовжив Ньютон. Він перший зрозумів, що будь-яку функцію з гладким графіком слід подати у вигляді степеневого ряду, тобто у вигляді нескінченно довгого багаточлена із числовими коефіцієнтами!
   Ще в студентські роки Ньютон відкрив біноміальне розкладання для якого завгодно цілого додатного показника. Молодий учений відразу ж знайшов застосування своєму відкриттю: записав ряди для відображення сегмента й сектора кола, синуса, арксинуса, логарифмічної функції. За допомогою рядів Ньютон міг тепер вивчати властивості функцій, робити наближені обчислення. Слід зазначити, що в алгебрі ряди були не менш важливі, ніж десяткові дроби в арифметиці.
   За допомогою степеневих рядів неважко обчислити похідну або інтеграл від будь-якої функції. Володіючи цими двома діями у світі функцій, можна розв’язати будь-яке диференціальне рівняння – тобто зрозуміти будь-який процес у фізичному світі. Кожен крок Ньютона на цьому шляху породжував нову теорему або виявляв новий закон природи, що відразу потрапляли в підручники. Наприклад, операції диференціювання й інтегрування функцій виявилися взаємно зворотними. Нині цей факт називають теоремою Ньютона – Лейбніца (німецький учений відкрив її незалежно від англійця), яку постійно використовують при складанні таблиць інтегралів. Без цієї теореми життя студентівпершокурсників було б набагато важче!
   Наукову діяльність Ньютона можна поділити на три періоди. В 1665–1667 роках він натхненно працював, відкриваючи основні закони природи й математики. Вже в 27 років професор Ньютон став визнаним «королем математиків і фізиків». Наступні 20 років він присвятив строгому доведенню відкритих ним законів, розрахунку найважливіших задач (включаючи рух Місяця й планет) і написанню своєї головної книги: «Математичні принципи філософії природи». В останні 40 років життя Ньютон мало займався наукою: він лише публікував раніше підготовлені ним книги, часом відволікаючись на розв’язування особливо важкої й цікавої задачі за допомогою математичного аналізу.
   Розробка диференціального й інтегрального числень стала важливим етапом у розвитку математики. Велике значення мали роботи Ньютона з алгебри, інтерполяції й геометрії. Завдяки йому алгебра остаточно звільнилася від геометричної форми; і його визначення числа не як зібрання одиниць, а як відношення довжини будь-якого відрізка до довжини відрізка, прийнятого за одиницю, стало важливим етапом у розвитку вчення про дійсне число.
   Ньютон створив свій метод, опираючись на колишні відкриття, зроблені ним у галузі аналізу, але в найголовнішому питанні він звернувся по допомогу до геометрії й механіки.
   Коли саме Ньютон відкрив свій новий метод, достеменно невідомо. Зважаючи на тісний зв’язок цього способу з теорією тяжіння, можна припустити, що це відбулось між 1666 і 1669 роками, але в усякому разі раніше перших відкриттів, зроблених у цій галузі Лейбніцем. Математику Ньютон вважав основним інструментом фізичних досліджень і розробляв її для численних подальших додатків. Після тривалих міркувань він дійшов до обчислення нескінченно малих на основі концепції руху; математика для нього не була абстрактним продуктом людського розуму. Він вважав, що геометричні образи – лінії, поверхні, тіла – утворюються внаслідок руху: лінія – при русі точки, поверхня – при русі лінії, тіло – при русі поверхні. Ці рухи здійснюються в часі, і за будь-який малий час точка, наприклад, пройде будь-який малий шлях. Для визначення миттєвої швидкості, швидкості в даний момент, необхідно знайти відношення приросту шляху (за сучасною термінологією) до приросту часу, а потім – границі цього відношення, тобто взяти «останнє відношення», коли приріст часу прагне до нуля. Так Ньютон увів відшукання «останніх відношень», похідних, які він називав флюксіями.
   Використання теореми про взаємну оборотність операцій диференціювання й інтегрування, про яку було відомо ще Барроу, і знання похідних багатьох функцій дало Ньютонові можливість одержати інтеграли (за його термінологією, флюєнти). Якщо інтеграли безпосередньо не обчислювалися, Ньютон розкладав підінтегральну функцію в степеневий ряд і інтегрував його почленно. Для розкладання функцій у ряди він найчастіше користувався відкритим ним розкладанням бінома, застосовував і елементарні методи.
   Новий математичний апарат був апробований ученим у головній праці його життя – «Математичних початках натуральної філософії». У той період Ньютон вже вільно володів диференціюванням, інтегруванням, розкладанням у ряд, інтегруванням диференціальних рівнянь, інтерполяцією.
   Свої відкриття Ньютон зробив раніше за Лейбніца, але вчасно не опублікував їх, бо всі його математичні твори були видані після того, як він став знаменитим. У 1666 році він підготував рукопис «Наступні пропозиції достатні, щоб розв’язувати задачі за допомогою руху», що містить основні відкриття з математики. Рукопис залишався в чорновому варіанті й був опублікований тільки через триста років.
   У книзі «Аналіз за допомогою рівнянь із нескінченною кількістю членів», написаній у 1665 році, Ньютон виклав результати своєї праці про нескінченно малі ряди, у додатку рядів до розв’язання рівнянь. У 1670–1671 роках Ньютон підготував до видання більш повну роботу – «Метод флюксій і нескінченних рядів», де його вчення подається як система: розглядається обчислення флюксій, додаток їх до визначення дотичних, знаходження екстремумів, кривизни, обчислення квадратур, розв’язування рівнянь із флюксіями, що відповідає сучасним диференціальним рівнянням. Ця праця була опублікована тільки в 1736 році, вже після смерті автора.
   Метод Ньютона – Лейбніца починається із заміни кривої, що обмежує площу, яку потрібно визначити послідовністю ламаних, аналогічно тому, як це робилося у винайденому греками методі вичерпування. Точна площа дорівнює границі суми площ п прямокутників, коли п наближується до нескінченності. Ньютон показав, що цю межу можна знайти, обертаючи процес знаходження швидкості зміни функції. Операція, зворотна диференціюванню, називається інтегруван ням. Твердження про те, що підсумовування можна здійс нити, обертаючи ди ференціювання, називається основною теоремою математичного аналізу. Подібно до того, як диференціювання застосоване до набагато ширшого класу задач, ніж пошук швидкостей і прискорень, інтегрування застосовується до будь-якої задачі, пов’язаної з підсумовуванням, наприклад, до фізичних задач на додавання сил.
   У листі, написаному в червні 1677 року, Лейбніц прямо розкривав Ньютонові свій метод диференціального числення, але той не відповів. Ньютон вважав, що відкриття належить йому навічно, і при цьому досить того, що воно було заховане лише в його голові. Учений щиро вважав: своєчасна публікація не дає ніяких прав. Перед Богом першовідкривачем завжди залишиться той, хто відкрив першим.
   Протягом тривалого часу Ньютон навіть і не підозрював, що на континенті досить успішно досліджує подібну проблему Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646–1716). Він, як і Ньютон, був вундеркіндом: ще у вісім років він самостійно вивчив латину, а ще через два роки – давньогрецьку мову. А нині багато хто називає Лейбніца останнім ученим епохи Відродження, або першим ученим епохи Просвітительства. Те й те вірно. Перше – тому, що до наших днів ще в жодної людини не було поєднання такого яскравого математичного таланту з широтою гуманітарних схильностей. Щодо цього Лейбніца можна зрівняти з Арістотелем, Леонардо да Вінчі або Рене Декартом. Інше звання Лейбніца також виправдане, адже він став першим академіком двох найвизначніших наукових співдружностей Європи: Лондонського Королівського Товариства й Паризької Академії наук. А пізніше Лейбніц виявився засновником ще двох академій. В 1700 році він став президентом і організатором Прусської Академії наук у Берліні. До Петербурга він не дістався, але, на прохання Петра І, встиг скласти проект Російської Академії наук, що була заснована в 1725 році – вже після смерті її ініціаторів.
   Ще в 1676 році Лейбніц заклав перші підвалини великого математичного методу, відомого за назвою «диференціальне числення». Факти досить переконливо доводять, що Лейбніц хоча й не знав про ньютонівський метод флюксій, але був підведений до його відкриття листами великого вченого. З іншого боку, нема ніякого сумніву, що відкриття Лейбніца за рівнем сприйняття, за зручністю позначень й докладною розробкою методу стало знаряддям аналізу значно могутнішим й популярнішим за ньютонівське. Навіть співвітчизники Ньютона, що довгий час із національного самолюбства надавали перевагу методу флюксій, помалу засвоїли більш зручні позначення Лейбніца. Стосовно ж німців і французів, то вони взагалі мало звернули уваги на спосіб Ньютона.
   Готфрід Вiльгельм Лейбніц

   «Лейбніц, на противагу конкретному, емпіричному, обачному Ньютону, – пише один з біографів Ньютона В. П. Карцев, – був в галузі числень великим систематиком, зухвалим новатором. Він з юності мріяв створити символічну мову, знаки якої відбивали б цілі зчеплення думок, давали б вичерпну характеристику явища. Цей амбіційний і нереальний проект був, звичайно, нездійсненний; але він, видозмінившись, перетворився на універсальну систему позначень обчислювання малих, якою ми користуємося дотепер».
   Математичний метод Лейбніца перебуває в найтіснішому зв’язку з його пізнішим вченням про монади – нескінченно малі елементи, з яких він намагався побудувати Всесвіт. Математична аналогія, застосування теорії найбільших і найменших величин до моральної сфери дали Лейбніцу те, що він уважав провідною ниткою в моральній філософії.
   Хоча політична діяльність Лейбніца (він був дипломатом) значною мірою відволікала його від занять математикою, весь свій вільний час він присвячував обробці винайденого ним диференціального числення й у проміжок часу між 1677 і 1684 роками встиг створити нову галузь математики.
   У 1684 році Лейбніц надрукував у журналі «Праці вчених» систематичний виклад початків диференціального числення. Усі опубліковані ним трактати, особливо останній, що з’явився майже на три роки раніше першого видання «Начал» Ньютона, надали науці такого величезного поштовху, що за тих часів важко навіть було оцінити все значення реформи, яку здійснив Лейбніц у галузі математики. Те, про що кращі французькі й англійські математики, окрім Ньютона, що володів своїм методом флексій, мали лише невиразне уявлення, стало раптом ясним, виразним і загальнодоступним, чого не можна сказати про геніальний метод Ньютона. Лейбніц бачив у своїх диференціалах і інтегралах загальний метод, тому свідомо дійшов до створення твердого алгоритму спрощеного розв’язання задач, що не розв’язувалися раніше.
   У поширенні методів математичного аналізу серед математиків Європи головну роль відіграв не Ньютон, а його однодумці: голландець Хрістіан Гюйгенс (Гейгенс) і Готфрід Лейбніц. Обидва вони поступалися Ньютонові у «пробивній силі» при розв’язуванні важких задач; але вони не поступалися йому в науковій фантазії й перевершували в майстерності. Саме Лейбніц склав першу таблицю похідних та інтегралів від елементарних функцій. Тому найсильніші математики наступного покоління – брати Бернуллі й Лопіталь – вивчали свою науку за статтями Лейбніца, а не за книгами Ньютона.
   Лейбніц був дуже різнобічним ученим. Крім «безперервної» математики функцій і похідних, він дуже цікавився «дискретною» математикою. Почавши з винаходу вдалого арифмометра, Лейбніц невдовзі помітив особливу зручність двійкової системи числення для математичних машин. Він також розвив математичну логіку, перейшовши від словесних міркувань (силогізмів) Арістотеля до алгебричного обчислювання логічних висловлювань. Про це ще в XIV столітті мріяв Раймонд Луллій. Розвиваючи його ідеї, Лейбніц замислився над повною формалізацією людського мислення, над створенням «розумних машин». У своїх сподіваннях Лейбніц помилився – але щоб виявити його помилку, математикам ХХ століття довелося побудувати електронні комп’ютери та зрівняти їхню роботу з діяльністю людського мозку.
   Хрістіан Гюйгенс

   А Хрістіан Гюйгенс (1629–1695) мав чудове чуття в галузі математичної фізики: ним захоплювався навіть Ньютон, який жодного не вважав рівним собі за талантом. Тому в математичній оптиці Гюйгенс зумів перевершити і Ферма, і Ньютона. Він запропонував хвильову теорію світла, що більш вдало описувала природні явища (дифракцію й інтерференцію), ніж корпускулярна теорія Ньютона. У рамках своєї теорії Гюйгенс зробив чудове відкриття: кожна точка, збуджена хвилею, що проминає, сама стає джерелом таких самих хвиль. Цей принцип Гюйгенса й давній принцип Ферма (про рух світла по траєкторії найменшого часу) у ХХ столітті склали основу квантової фізики, злившись у єдиний принцип Фейнмана.
   Але для побудови повної математичної теорії світла Гюйгенсу забракло багатьох експериментальних результатів і ще однієї галузі математичного аналізу – теорії функцій комплексного змінного. Її відкрив Леонард Ейлер – найславетніший математик XVIII століття.

Найновіші сторінки в математиці

   Ейлеру пощастило: він народився в маленькій тихій Швейцарії, куди з усієї Європи приїздили майстри й учні, які не бажали витрачати дорогоцінний робочий час на цивільні смути або релігійні суперечки. Так переселилася в Базель із Голландії і родина Бернуллі: унікальне сузір’я наукових талантів на чолі із братами Якобом і Йоганном. Випадково юний Леонард потрапив у цю компанію й невдовзі став гідним членом базельської купки геніїв.
   Але коли вчені орлята підросли, з’ясувалося, що у Швейцарії бракує місця для їхніх гнізд. У далекій Росії, за задумом Петра I і за проектом Лейбніца, була заснована в 1725 році Петербурзька Академія наук. Російських учених не вистачало, і трійка друзів: Леонард Ейлер із братами Данилом і Микоою Бернуллі (синами Йоганна) вирушили туди в пошуках щастя й наукових подвигів.
   Зростання авторитета Ейлера знайшло своєрідне відбиття в листах до нього його вчителя Йоганна Бернуллі. В 1728 році Бернуллі звертається до «найученішого й найобдарованішого юнака Леонарда Ейлера», в 1737 році – до «славнозвісного й найдотепнішого математика», а в 1745 році – до «незрівнянного Леонарда Ейлера – голови математиків».
   Тільки геній міг, виконуючи всю ту роботу, що запропонували йому в Академії, не забути про велику науку. За 15 років свого першого перебування в Росії Ейлер встиг написати перший у світі підручник з теоретичної механіки (не вчити ж простого студента за складними книгами Ньютона!), а також курс математичної навігації й багато інших праць. Писав Ейлер легко й швидко, простою й зрозумілою мовою. Так само швидко він вивчав нові мови, але смаку до літератури не мав. Математика поглинала весь його час і сили.
   Та раптом він помітив, що йому ні з ким нарівні поговорити про свою науку, та й Росія не була основним центром розвитку наук. Тож Ейлер переїхав до Берліна, де молодий король Фрідріх ІІ Прусський вирішив створити науковий центр, не слабкіший за паризький. Там учений провів чверть століття, і цей час вважав кращим у своєму житті.
   Леонард Ейлер

   Значний внесок Ейлер зробив і в геометрію. Він шукав у ній не стільки нові витончені факти, скільки загальні теореми, що не укладаються в догматику Евкліда. Наприклад, теорема про зв’язок між кількістю вершин, ребер і граней опуклого багатогранника:
   B – P + Г = 2.
   Цю формулу знав ще Декарт; але він не залишив її доведення. Ейлер легко знайшов доведення цієї теореми, а потім замислився: якщо формула справедлива для всіх опуклих тіл, то яку ж властивість вона виражає? Можливо, властивість сфери, у яку можна деформувати будь-який опуклий багатогранник? Якщо так, то ця формула навряд чи справедлива для інших замкнутих поверхонь – на зразок тора або кренделя! Перевірка показала: для деяких карт на торі вираз B – P + Г набуває значення 0, а на кренделі – значення (-2). Але довести ці тотожності для всіх карт на складних поверхнях Ейлер не зумів і залишив цю проблему нащадкам. Удача прийшла в 1890-ті роки до Анрі Пуанкаре, який створив науку топологію – розділ математики, що вивчає топологічні властивості фігур, тобто властивості, що не змінюються при будь-яких деформаціях.
   Але більша частина робіт Ейлера присвячена аналізу. Ще 1743 року він видав п’ять мемуарів, із них чотири з математики. Одна із цих праць просто чудова: в ній указується на спосіб інтегрування раціональних дробів шляхом розкладання їх на частки дробу й, крім того, викладається звичайний тепер спосіб інтегрування лінійних звичайних рівнянь вищого порядку з постійними коефіцієнтами. Взагалі, Ейлер так спростив і доповнив цілі великі відділи аналізу нескінченно малих, інтегрування функцій, теорії рядів, диференціальних рівнянь, які були розпочаті вже до нього, що вони набули приблизно такої форми, яка великою мірою притаманна їм і тепер. Ейлер, крім того, почав цілий новий розділ аналізу – варіаційне обчислення. Це його починання незабаром підхопив Ж. Л. Лагранж, що започаткував нову науку.
   Та найвищим досягненням Ейлера в математиці є доведення основної теореми алгебри, яке було опубліковане в 1751 році в роботі «Дослідження про уявні корені рівнянь». Доведення цієї теореми мало найбільш алгебричний характер. Пізніше його базові ідеї повторювалися й поглиблювалися іншими математиками. Так, методи дослідження рівнянь розвивав спочатку Лагранж, а потім вони ввійшли складовою частиною в теорію Е. Галуа.
   Основна теорема полягала в тому, що всі корені рівняння належать полю комплексних чисел. Для доведення цього Ейлер установив, що всякий багаточлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток дійсних лінійних або квадратичних множників.
   Значення чисел, що не є дійсними, Ейлер називав уявними і вказував на те, що звичайно вважають їх такими, які попарно в сумі й добутку дають дійсні числа. Отже, якщо уявний корінь дорівнюватиме 2t, то це дасть t дійсних квадратичних множників у поданні багаточлена. Ейлер пише: «Тому говорять, що кожне рівняння, яке не можна розкласти на дійсні прості множники, має завжди дійсні множники другого степеня. Однак ніхто, наскільки я знаю, ще не довів досить чітко істинність цієї думки; отже, я постараюся довести це таким чином, щоб охопити всі без винятку випадки».
   Такої ж концепції потім дотримувалися Лагранж, Лаплас і деякі інші послідовники Ейлера. Не згодний з нею був лише К. Ф. Гаусс, про якого йтиметься далі.
   Ейлер же сформулював три теореми, що випливають із властивостей безперервних функцій.
   1. Рівняння непарного степеня має щонайменше один дійсний корінь. Якщо таких коренів більше одного, то кількість їх не є парною.
   2. Рівняння парного степеня або має парну кількість дійсних коренів, або не має їх зовсім.
   3. Рівняння парного степеня, у якого вільний член від’ємний, має щонайменше два дійсні корені різних знаків.
   Слідом за цим Ейлер довів теореми про розкладність на лінійні й квадратичні дійсні множники багаточленів з дійсними коефіцієнтами.
   При доведенні основної теореми Ейлер установив дві властивості алгебричних рівнянь:
   1. Раціональна функція коренів рівняння, що набуває при всіх можливих перестановках коренів А різних значень, задовольняє рівнянню степеня А, коефіцієнти якого виражаються раціонально через коефіцієнти даного рівняння.
   2. Якщо раціональна функція коренів рівняння інваріантна (тобто не змінюється) щодо перестановок коренів, то вона раціонально виражається через коефіцієнти вихідного рівняння.

   П. С. Лаплас, слідом за Ейлером і Лагранжем, допускає розкладання багаточлена на множники. При цьому Лаплас доводить, що вони будуть дійсними. Таким чином, усі три вчені довели основну теорему алгебри, спираючись на припущення існування поля розкладання багаточлена на множники.
   Після повернення в Росію, в 70-ті роки XVII століття навколо Ейлера виросла Петербурзька математична школа, яка більш ніж наполовину складалася з російських вчених. Тоді ж завершилася публікація головної книжки його життя – «Основи диференціального й інтегрального числень», за якою вчилися всі європейські математики з 1755 по 1830 рік. «Основи» вигідно відрізняються від «Початків» Евкліда й від «Принципів» Ньютона. Звівши струнку будову математичного аналізу від самого фундаменту, Ейлер не прибрав ті риштовання та сходинки, якими він сам підіймався до своїх відкриттів. Багато цікавих здогадок і початкові ідеї доведень збережені в тексті – незважаючи на помилки, які в них трапляються, – аби вони були наукою для всіх спадкоємців Ейлеревої думки. Це був перший підручник, призначений не для послідовників, а для дослідників: таким був заповіт Ейлера й усієї епохи Просвітительства, адресований прийдешнім століттям і народам.
   Карла Фрідріха Гаусса (1777–1855) вважають останнім латиністом серед великих учених Європи. Він з гордістю почував себе вихованцем епохи Просвітительства. Справді, в яку іншу епоху талановитий син садівника й водопровідника міг би удостоїтися персональної стипендії від герцога Брауншвейзького й бути прийнятим у Геттінгензький університет? Цей аванс Гаусс щедро повернув батьківщині: математична школа в Геттінгені стала найсильнішою в Німеччині й була такою понад сто років – поки до влади не прийшов Гітлер.
   Математичний талант Гаусса виявився ще в ранньому дитинстві – і звичайно, першим його захопленням стала арифметика. В дев’ять років він під час шкільного уроку… відкрив формулу суми арифметичної прогресії. Пізніше Гаусс переніс всі теореми арифметики натуральних чисел на багаточлени й на цілі комплексні числа. У підсумку в алгебрі з’явилося загальне поняття кільця. Одночасно з’ясувалося, що множина простих чисел виду (4k + 1) нескінченна і що всі їх можна уявити у вигляді суми двох квадратів. Це був перший новий факт такого роду, відкритий із часів Ератосфена. Пізніше учень Гаусса – Петер Діріхле – набагато перевершив учителя, довівши, що в будь-якій арифметичній прогресії міститься нескінченна множина простих чисел (якщо перший член і різниця цієї прогресії взаємно прості).