Интеллектуальные развлечения. Интересные иллюзии, логические игры и загадки.

Добро пожаловать В МИР ЗАГАДОК, ОПТИЧЕСКИХ
ИЛЛЮЗИЙ И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ РАЗВЛЕЧЕНИЙ
Стоит ли доверять всему, что вы видите? Можно ли увидеть то, что никто не видел? Правда ли, что неподвижные предметы могут двигаться? Почему взрослые и дети видят один и тот же предмет по разному? На этом сайте вы найдете ответы на эти и многие другие вопросы.

Log-in.ru© - мир необычных и интеллектуальных развлечений. Интересные оптические иллюзии, обманы зрения, логические флеш-игры.

Привет! Хочешь стать одним из нас? Определись…    
Если ты уже один из нас, то вход тут.

 

 

Амнезия?   Я новичок 
Это факт...

Интересно

"ОК" - самое популярное слово в мире

Еще   [X]

 0 

Живой учебник геометрии (Перельман Яков)

Предлагаемое классическое пособие Я.И.Перельмана призвано пробудить у читателя интерес к геометрии или, говоря словами автора, «внушить охоту и воспитать вкус к ее изучению». Наука выводится «из стен школьной комнаты на вольный воздух, в лес, поле, к реке, на дорогу, чтобы под открытым небом отдаться непринужденным геометрическим занятиям без учебника и таблиц…»

Год издания: 0000

Цена: 49.9 руб.



С книгой «Живой учебник геометрии» также читают:

Предпросмотр книги «Живой учебник геометрии»

Живой учебник геометрии

   Предлагаемое классическое пособие Я.И.Перельмана призвано пробудить у читателя интерес к геометрии или, говоря словами автора, «внушить охоту и воспитать вкус к ее изучению». Наука выводится «из стен школьной комнаты на вольный воздух, в лес, поле, к реке, на дорогу, чтобы под открытым небом отдаться непринужденным геометрическим занятиям без учебника и таблиц…»


Яков Перельман Живая геометрия

ПРЕДИСЛОВИЕ

   1) Материалу придано концентрическое расположение. Это значит, что в первой части книги излагается краткий, но по-своему законченный круг наиболее существенных сведений (первый концентр), который во второй части дополняется и углубляется новыми, составляющими в совокупности второй концентр предмета. Для усвоения первого концентра почти достаточно знания арифметики; второй концентр требует знания алгебры.
   2) Небольшой объем этой книги объясняется тем, что число излагаемых в ней геометрических фактов доведено до минимума: включались только те положения, которые имеют более или менее широкое применение на практике или же необходимы для обоснования других, практически применимых положений. Все бесполезные в указанном смысле положения, по традиции фигурирующие в курсах геометрии, в этой книге отсутствуют. Учащийся должен усвоить сравнительно небольшое число геометрических фактов,[1] но зато должен уметь уверенно распоряжаться ими для решения практических задач и для самостоятельного вывода новых соотношений, если они ему понадобятся. Никакое обилие знаний не может заменить умения ими пользоваться.
   3) Благодаря указанным особенностям, а также некоторым дидактическим приемам (например, предварительным упражнениям), прохождение предмета для начинающего облегчается настолько, что представляется возможным с первых же страниц логически обосновывать почти все его положения. Доказательства нужны в курсе геометрии не столько для того, чтобы оправдать ее положения, сколько для того, чтобы придать им внутреннюю связанность и систематическую упорядоченность; без этого невозможно ни твердо удерживать их в памяти, ни безошибочно применять их к разрешению практических задач. Предлагаемые доказательства в общем не труднее для усвоения, чем те их суррогаты, к которым приходится прибегать, чтобы обойтись без доказательств.

СОВЕТЫ ЗАНИМАЮЩИМСЯ

   Работу по этой книге надо начинать, конечно, с внимательного чтения ее текста. Читать необходимо с карандашом в руке, чтобы самому зачерчивать на бумаге все относящиеся к тексту чертежи. Точно так же нужно отмечать у себя на бумаге все то, что в книге выражено математическими обозначениями, и на бумаге же проделывать выкладки и преобразования как бы под диктовку книги. Читая так, вы прежде всего лучше уясните себе смысл читаемого, – а только хорошо поняв мысль, можно ее твердо запомнить. Кроме того, запоминание облегчается, когда в чтении участвуют не только глаза (зрительная память), но и мускулы (двигательная память). При чтении старайтесь дословно запоминать лишь определения и основные положения. Объяснения же и доказательства затверживать наизусть нет надобности: достаточно уловить ход мыслей, их порядок и взаимную связь.
   Прочтя параграф раза два, постарайтесь, не глядя на текст, ответить на относящиеся к нему «повторительные вопросы», воспроизводя также на память и соответствующие чертежи. Заботьтесь при этом, чтобы не только помнить содержание параграфа, но и излагать усвоенное ясно, четко, с правильным употреблением терминов. Если это достигнуто, можно читать дальше; если нет, – приходится восполнять пробелы по книге и снова пытаться повторить прочитанное. Только хорошо поняв и усвоив один отдел, можно переходить к дальнейшим. Не спешите чрезмерно с прохождением курса, торопясь забежать вперед, чтобы скорее покончить с предметом. Поспешность только замедлит его усвоение. И еще совет: подвигаясь вперед, почаще заглядывайте в пройденное. Каждый раз, когда почувствуете, что какое-нибудь место из ранее пройденного потускнело в вашей памяти, не ленитесь разыскать соответствующую страницу книги и освежить забытое. Работая над учебной книгой, надо перелистывать ее назад больше, чем вперед, – в этом залог прочного усвоения. Будьте уверены, что, продвигаясь медленно, не спеша, вы достигнете твердого овладения предметом гораздо вернее и быстрее.
   Еще одно важное замечание. В геометрии, как и во всех математических науках, можно немного, з н а т ь, зато необходимо много уметь. Эта книга содержит менее сотни параграфов; будете знать, но не будете у м е т ь. Уменье придет только тогда, когда проделаете значительное число разнообразных упражнений. Усвоил геометрию тот, кто не только твердо знает правила, но и умеет уверенно их применять. «При изучении наук, – писал Ньютон, – задачи (примеры) важнее правил». Каждый параграф предлагаемой книги сопровождается поэтому указанием на его применения. Но эти указания объясняют лишь, как надо решать соответствующие задачи. Для овладения предметом их недостаточно: надо самостоятельно проделать множество упражнений.

ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ

   О к р у г л е н и е. Округление числа состоит в том, что его укорачивают на одну или несколько значащих цифр. Если первая из отбрасываемых цифр не больше 4, то оставшихся цифр не изменяют, а вместо отброшенных пишут нули (в случае целого числа). Например 354,3 округляют в 354 или в 350.
   Если первая из отбрасываемых цифр больше 4, то последнюю остающуюся цифру увеличивают на 1. Например, 267,86 округляют в 267,9, в 268 или в 270.
   Но в тех случаях, когда отбрасывается т о л ь к о цифра 5 (или 5 с последующими нулями), принято округлять число так, чтобы последняя остающаяся цифра оказывалась ч е т н о й. Например, 4,25 округляют в 4,2, число 3750 – в 3800.
   Результат с л о ж е н и я или в ы ч и т а н и я не должен оканчиваться значащими цифрами в тех разрядах, которых нет хотя бы в одном из данных чисел. Если такие цифры получаются, их следует заменять нулями. (Нули, стоящие между значащими цифрами, также считаются значащими).
   П р и м е р ы:
   Результат умножения и деления не должен состоять из большего числа значащих цифр, чем их имеется в том из данных чисел, которое содержит наименьшее число значащих цифр.
   П р и м е р ы:
   Число значащих цифр с т е п е н и или корня не должно превышать числа их в основании или в подкоренном количестве.
   П р и м е р ы:
   1572 = 24 600 [вместо 24 649]
   5,813 = 196 [вместо 196,122 941]
   √329 = 18,1 [вместо 18,1384]
   √0,638 = 0,861 [вместо 0,86088].
   Указанные правила выполнения действий относятся только к о к о н ч а т е л ь н ы м результатам выкладок. Если же выполняемое действие не окончательное, т. е. если с полученным результатом предстоит выполнять еще и другие действия, то в результате оставляют одной цифрой больше, чем указано в предыдущих правилах. Например вычисление:
   выполняют так:
   36 × 1,4 = 50,4 (а не 50)
   50,4: 3,4 = 15.

   Этими правилами следует руководствоваться не только при собственных выкладках, но и при пользовании готовыми результатами из таблиц.

Первый концентр

I. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ

§ 1. Прямая линия

   Линии иного вида носят другие названия. Те не прямые линии, которые составлены из отрезков прямой (черт. 1), называются л о м а н ы м и. Все прочие линии – не прямые и не ломаные – называются кривыми (черт. 2).
   Прямые линии чертят на бумаге, пользуясь линейкой.
   Через одну точку можно провести сколько угодно прямых линий. Но через д в е точки сразу может проходить не более о д н о й прямой: нельзя через две точки провести больше одной прямой так, чтобы проведенные линии не сливались в одну. Этим свойством прямых линий пользуются для перекалывания узоров, составленных из прямых линий. Предположим, что вы желаете изобразить в точности узор черт. 3a, т. е. желаете, как говорят, «снять с него копию». Вы можете поступить так: подложить под узор чистую бумагу и проколоть иглой (или ножкой циркуля) конечные точки всех его линий. У вас получится на чистой бумаге то, что. вы видите на черт. 3b. Если затем, глядя на узор; вы соедините точки черт. 3b по линейке прямыми линиями – у вас получится точная копия узора; так как между двумя точками можно провести только одну прямую линию, то ясно, что отрезки, соединяющие точки черт. 3b, должны быть те самые, что и на черт. 3a.
   На классной доске мы можем чертить прямые линии помощью шнура, натертого мелом. Натянув его между теми двумя точками, через которые мы желаем провести прямую, приподнимают немного шнур посредине и отпускают: шнур отпечатывает на доске свою форму, т. е. прямую линию. Это называется «отбить» прямую. Плотники, отбивая прямые на бревнах, брусьях или досках, натирают шнур не мелом, а углем.
   Чтобы обозначить прямую линию на поле, на лугу, в лесу, вообще, как говорят, «на местности», ее не прочерчивают на земле, а втыкают лишь на ее концах по шесту («вехе»): этого достаточно, потому что через две точки (вехи) может проходить только одна прямая.
   Чтобы не указывать на чертеже пальцем, о каком отрезке идет речь, ставят у его концов буквы; желая указать этот отрезок, называют буквы, стоящие у его конечных точек; этого достаточно, потому что через две точки может проходить только одна прямая. Левый стоячий отрезок на черт. 4, например, надо называть АО, нижний лежачий – DС, и т. д. Для таких dобозначений принято упо треблять п р о п и с н ы е буквы латинского алфавита.
   Другой способ обозначения отрезков состоит в том, что возле их середины ставят одну малую букву. Например, прямую АВ можно назвать просто b, a AD – а, и т. п.
   Называя л о м а н у ю линию, надо перечислить по порядку буквы, поставленные у концов всех ее отрез ков. Например, говорят «ломаная ABCOD» (найдите ее на черт. 4).
   Буквы для обозначения точек и линий принято в математике употреблять не русские, а латинские. Они не слишком отличаются от русских, поэтому к употреблению их легко привыкнуть.
   Повторительные вопросы
   Начертите несколько прямых, ломаных и кривых линий. – Сколько прямых может проходить через одну точку? А через две? – Во скольких местах могут пересекаться две прямые? – Как перекалывают узоры? – Как «отбивают» прямые линии? – Как отмечают их на местности? – Как обозначают прямые линии буквами? Как обозначают ломаные линии? – Когда употребляют прописные буквы и когда – малые?

§ 2. Масштаб

   Изображение участка земли, пола комнаты или квартиры в уменьшенном виде называется планом этого участка, комнаты или квартиры. При этом необходимо изготовить уменьшенное изображение так, чтобы по плану участка или комнаты легко было узнать их настоящие размеры. Проще всего возле каждого отрезка на плане надписать его истинную длину. Часто так и делают, – например, когда зарисовывают план от руки, вчерне. На черт. 5 мы видим подобный план комнаты, изображенной на черт. 6. Но не всегда это бывает удобно. Обычно на плане приходится показывать много подробностей, – например, не только размеры самой комнаты, но и ширину окон, дверей, стен, печи и т. п. Если все эти размеры надписать на плане, в нем трудно будет разобраться.
   Чтобы план был ясен и нагляден, его изображают «в масштабе». Это значит, что взамен метра действительно длины чертят на плане определенный небольшой отрезок, – напр. 1/2 см; тогда длина комнаты (черт. 6) 12 м изобразится на плане отрезком в 6 см; ширина ее 8 м – отрезком в 4 см; ширина окна 1,5 м – отрезком 0,75 см, или 7,5 мм и т. д. (черт. 7). И наоборот, если на плане ширина дверей равна 1 см, то это показывает, что настоящая ее ширина – 2 метра. О таком плане говорят, что он начерчен в масштабе «2 метра в 1 см».
   К планам, начерченным в масштабе, обычно прилагают так называемый «линейный масштаб», который служит для того, чтобы по длине отрезков на плане удобно было находить их истинную длину. Образец такого масштаба изображен на черт. 8. Пользуются им следующим образом. Предположим, мы желаем узнать, как велико истинное расстояние от середины правого угла комнаты до ближайшего угла печки; оно показано на плане черт. 7 точечной линией (пунк тиром). Раздвинув ножки циркуля на расстояние, равное этому отрезку, переносим взятое расстояние на линейный масштаб (черт. 8) так, чтобы правое острие циркуля было у одной из отметок целых метров (т. е. направо от нуля) а левое острие – налево от нуля. В нашем случае правое острие окажется у отметки «5 метров», левое – у отметки «25 см» (число 25 на масштабе не написано, но подразумевается). Значит, истинное расстояние от окна до печки – 5 м 25 см.
   Зная, скольким метрам истинной длины отвечает каждый сантиметр плана, легко рассчитать, во сколько раз расстояния на, плане меньше их настоящей величины. В нашем случае расстояния плана меньше их истинной («натуральной») величины во столько раз, во сколько 1 см меньше 2 метров, т. е. в 200. Другими словами, план выполнен в 1/200 натуральной величины. Дробь 1/200 называется «численным масштабом» плана. Если бы он был начерчен в масштабе «1 м в 1 см», то ч и с л е н н ы й масштаб плана был бы 1/100. Масштабу «1/2 м в 1 см» отвечает численный масштаб 1/50 и т. п.

   Повторительные вопросы
   Что называется планом? – Что значит «начертить план в масштабе»? – В каком масштабе выполнен план черт. 7? В какую долю натуральной величины? – Каким численным масштабам соответствуют следующие: «1 м в 1 см», «2 м в 1 см», «0,5 м в 1 см»?

§ 3. Диаграммы

   Масштабом пользуются не только для черчения планов, но и для того, чтобы наглядно изображать соотношения различных длин. Пусть, например, вы узнали, что огромный ящер, «динозавр», когда-то живший на земле, имел в высоту 12 метров. Мы желаем наглядно сопоставить рост этого вымершего чудовища с ростом среднего человека (1,7 м). Для этого начертим отрезок (черт. 9), изображающий рост динозавра в каком-нибудь масштабе, например, 2 м в 1 см, – а рядом с ним другой отрезок, изображающий в том же масштабе рост человека. Первый отрезок будет иметь в длину 6 см, второй – только 8,5 мм. Глядя на такой чертеж (черт, 9), мы, конечно, гораздо яснее представляем себе огромный рост динозавра, чем обдумывая число 12 метров.
   Если пожелаем сравнить рост динозавра также с ростом средней лошади (2 м) и с ростом жирафа (5,5 м), то должны будем рядом с сейчас начерченными двумя прямыми начертить еще две: одну – длиною в 1 см – для лошади, и другую – длиною 2,8 см – для жирафа. (Сделайте это в вашей тетради.) То, что мы начертили, есть «диаграмма» роста животных.
   В рассмотренном сейчас случае мы изображали рост человека и животных в у м е н ь ш е н н о м масштабе. Бывают, однако, случаи, когда надо пользоваться для диаграммы не уменьшенным, а увеличенным масштабом. Пусть, мы желаем составить себе наглядное представление о малости бактерии, длина которой равна 0,004 мм. Сопоставим ее длину, например, с толщиною волоса (0,05 мм). Изберем масштаб «0,001 мм в 1 мм». Тогда толщина волоса изобразится отрезком в 50 мм, а длина бактерии-всего в 4 мм (черт. 10). Когда мы смотрим на такой чертеж, крошечные размеры бактерии представляются нам гораздо нагляднее, чем раньше.
   Подобным же способом можно изображать не только соотношение длин, но также соотношение в е с о в, промежутков в р е м е н и, – вообще, всякого рода величин. Мы можем, например, представить на диаграмме соотношение в е с а различных животных. На черт. 11 мы имеем диаграмму веса свиньи (120 кг). кодовы (400 кг) и лошади (440 кг). На этом чертеже каждой миллиметр отвечает 10 килограммам веса. Поэтому вес свиньи изображен отрезком в 12 мм, коровы – 40 мм, лошади – 44 мм. Наконец, рассмотрим, как изображаются на диаграмме промежутки в р е м е н и, – например, продолжительность жизни человека и некоторых животных. Крупные черепахи могут жить до 300 лет; слон – до 200, человек – до 100 лет, орангутанг – до 60 лет, лошадь – до 50 лет, жаба – до 40 лет, олень – до 30 л., курица – до 20 л, собака – до 12 л., кролик – до 7 л. Будем изображать один год каким-нибудь отрезком, например, в 1/5 мм (выбираем мелкий масштаб, чтобы чертеж уместился на листке бумаги). Тогда век черепахи изобразится отрезком в 60 мм, слона – в 40 мм, человека – в 20 мм, и т. д. до собаки и кролика, продолжительность жизни которых надо будет изображать черточками в 2 мм и в 11/2 мм. (Начертите это в вашей тетради.)

II. УГЛЫ. ПЕРВЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОКРУЖНОСТИ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ[2]

§ 4. Углы и их обозначения

   Для обозначения углов употребляют три буквы: две ставятся у сторон, третья – у вершины. Называя угол, начинают с буквы, стоящей у одной стороны, затем называют букву у вершины и, наконец, – букву возле другой стороны. В том же порядке и записывают углы. Например, верхний угол фигуры черт. 12 есть ABC(или СВА); левый угол той же фигуры – ВАС, правый – АСВ (последние два угла можно также назвать CAB и ВСА).
   Употребляются и иные способы обозначения углов. Можно, например, называть одну только букву, стоящую у вершины: верхний угол фигуры черт. 12 можно по этому способу назвать: у г. В. Но угол ВАС нельзя назвать «уг. А», так как у точки А лежат вершины двух углов: ВАС и BAD.
   Нередко обозначают угол м а л о й буквой или цифрой, ставя их в н у т р и угла, близ вершины. Например, уг. ABCможно обозначить как «уг. а», уг. ВАС – как «уг. 1». Между сторонами угла проводят иногда для ясности дужку (см. уг. 1 черт. 12).
   Повторительные вопросы
   Какая фигура называется углом? – Покажите на чертеже, где вершина угла, и где его стороны? – Какие вы знаете способы обозначения углов?

§ 5. Сравнение углов. Сложение и вычитание углов

   Углы различают по их величине. Большим считается не тот угол, стороны которого длиннее, а тот, стороны которого сильнее расходятся врозь. На черт. 13 уг. EDF больше, чем угол 2, потому, что у первого стороны сильней расходятся врозь. Встречаются углы, стороны которых расходятся врозь совершенно одинаково; такие углы можно наложить один на другой так, что их вершины совпадут, а стороны сольются. Углы, которые можно таким образом наложить друг на друга, считаются равными, хотя бы стороны их были неодинаковой длины.
   На черт. 13 равны, например, уг. DEH и уг. DFH, уг. 2 и уг. а; вы можете убедиться в этом, есля обведете один угол на прозрачной бумаге и покроете им другой.
   Если при наложении сравниваемых углов их вершины и одна сторона совпали, вторая же сторона накладываемого угла оказалась внутри или вне другого угла, то такие углы, конечно, не равны. Тот угол, который оказался внутри другого, считается меньшим.
   Рассмотрите на том же черт. 13 углы, вершины которых лежат в точке D. Здесь три угла: уг. EDF, уг. EDHи уг. HDF. Вы видите, что оба меньших угла как раз заполняют собою уг. EDF, который составляется из них, как целое из своих частей. Когда углы так расположены, то говорят, что уг. EDFесть с у м м а углов EDHи HDF. С л о ж и т ь два угла значит найти их сумму, т. е. тот угол, который составится, если приложить их друг к другу, как показано на чертеже 13.
   Если на черт. 13 от угла EDFотнять угол EDH, то останется уг. HDF; этот. угол называется р а з н о с т ь ю углов EDFи EDH. Вычесть один угол из другого значит найти их разность.
   Повторительные вопросы
   Какие углы называются равными? – Зависит ли величина угла от длины сторон? – Покажите на чертеже, что называется суммой и разностью двух углов.

§ 6. Развернутый угол

   Может ли один развернутый угол быть больше или меньше другого развернутого? Конечно, нет: ведь всякие прямые линии, если их наложить одну на другую, сливаются между собою; значит, должны слиться при наложении и всякие развернутые углы. Итак:
   В с е р а з в е р н у т ы е у г л ы р а в н ы м е ж д у с о б о ю.

§ 7. Смежные углы. Прямой угол

   Если углы, составляющие одну пару смежных углов, равны между собою, – как уг. 7 и 8 на черт. 16, – то каждый из них называется прямым углом. Значит:
   П р я м о й у г о л е с т ь о д и н и з д в у х р а в н ы х с м е ж н ы х у г л о в.
   Так как оба равных смежных угла составляют вместе один развернутый угол, то прямой угол есть половина развернутого угла. Но все развернутые углы равны друг другу; поэтому равны и их половины, т. е. прямые углы. Значит:
   В с е п р я м ы е у г л ы р а в н ы д р у г д р у г у.
   Прямые линии, встречающиеся под прямым углом (черт. 17), называются перпендикулярными друг к другу. На черт. 17, например, уг. 1 = уг. 2, а так как эти углы смежные и притом равные, то они – прямые. Поэтому CDперпендикулярно к АВ и АВ перпендикулярно к CD.
   Слово «перпендикулярный» не надо смешивать со словом «вертикальный». В е р т и к а л ь н о й, или о т в е с н о й, называют всякую прямую линию, имеющую направление свободно свешивающейся нагруженной нити.
   Все те линии, которые составляют с вертикальной линией прямой угол, называются г о р и з о н т а л ь н ым и. Горизонтальны, например, все линии, проведенные по поверхности воды (черт. 18). Отвесное направление проверяют отвесом (черт. 18); горизонтальное – плотничьим ватерпасом.
   На бумаге прямой угол чертят помощью линейки и чертежного треугольника (черт. 19). Проверить, правильно ли изготовлен чертежный треугольник, можно так. Проведя по линейке прямую линию и начертив с помощью треугольника другую прямую к ней, перпендикулярную, прикладывают чертежный треугольник прямым углом к смежному углу: если эти углы равны, то треугольник изготовлен правильно.
   Углы, меньшие, чем прямой, называются о с т р ы м и; большие, чем прямой, – т у п ы м и.

   Повторительные вопросы к §§ 6 и 7
   Какой угол называется развернутым? – Какие углы называются смежными (начертите несколько таких углов)? – Какой угол называется прямым? – Как называется угол, который равен смежному с ним? – Могут ли прямые углы иметь различную величину? – Объясните значение слов: перпендикулярный, вертикальный, отвесный, горизонтальный. – Как чертить перпендикулярные прямые помощью чертежного треугольника? – Какие углы называются острыми? Тупыми? Начертите несколько острых и несколько тупых углов.

   Применения
   1. Уменье чертить взаимно-перпендикулярные прямые позволяет строить так наз. «графики», т. е. ломаные (или кривые) линии, наглядно показывающие ход изменения явлений. Пусть требуется построить график температуры за неделю по следующим данным:
   Изобразим эти температуры рядом перпендикуляров к одной прямой, приведенных на равных расстояниях друг от друга: длина перпендикулярных отрезков будет изображать температуру дня. Верхушки перпендикуляров соединим прямыми линиями: полученная ломаная линия и есть «график температур».
   2. На черт. 20 изображены графики годового хода температуры воздуха в разных местах земного шара: на о-ве Цейлон, в Ницце, в Самаре, во Владивостоке и в Верхоянске. Рассматривая эти графики, мы можем ответить себе на ряд могущих возникнуть вопросов, например:
   a) Какова температура в среднем за много лет во всех на званных местах 1 мая?
   О т в е т. На Цейлоне +27° в Ницце +18°, в Самаре +15°, во Владивостоке +10°, в Верхоянске 0°.
   b) Какие дни в году (в среднем) самые жаркие и самые холодные в Верхоянске?
   О т в е т. 1-е июля + 15°1-е января – минус 50°
   c) В каких городах в апреле средняя температура ниже0°?
   О т в е т. В Верхоянске, Владивостоке и Самаре.
   d) Какова разница между самой высокой и самой низкой средней температурой в Ницце? В Самаре?
   О т в е т ы. В Ницце средняя температура колеблется от +9° до +24°; в Самаре – от минус 10° до +21°.

§ 8. Свойство смежных углов

   С у м м а о б о и х с м е ж н ы х у г л о в р а в н а д в у м п р я м ы м у г л а м.
   Например, на черт. 21 уг. 1 +уг. 2 = двум прямым углам.

   Бывает, что по одну сторону прямой расположено не два угла, как в случае смежных углов, а несколько углов, – как на черт. 22. Легко убедиться, что сумма этих углов также равна двум прямым: из них всегда можно составить одну пару смежных углов (на черт. 22 углы АОD и DOВ, или АОЕ и ЕОВ).
   Подобным же образом можно найти, чему равна сумма углов,! расположенных вокруг общей вершины, как на черт. 23. Продолжив одну из сторон за общую вершину (черт. 24), получим две группы углов: группу 1 и а, сумма которых равна двум прямым (почему?), и группу углов 2, 3, Ь, сумма которых равна также двум прямым углам; значит, сумма всех углов вокруг общей вершины равна 4 прямым углам.

   Повторительные вопросы
   Чему равна сумма смежных углов? – Сумма нескольких углов, расположенных по одну сторону прямой линии? – Сумма всех углов, расположенных вокруг общей вершины?

§ 9. Противоположные углы

   1) На черт. 25 уг. 1 = 48°. Найти прочие углы.
   2) На черт. 25 уг. b = 136 °. Найти прочие углы.

   Когда две прямые линии пересекают друг друга (черт. 25), они образуют две пары углов, стороны которых составляют продолжение одни других: одна пара – уг. 1 и уг. 2; другая – уг. а и уг. b. Особенность противоположных углов та, что углы, составляющие такую пару, всегда равны между собою: у г. 1 = уг. 2, уг. а = у г. b. Действительно, если например (черт. 25) уг. 1 = 40°, то уг. b = 180° – 40° = 140°, уг. 2 = 180° – 140° = 40°, и уг. а = 180° – 40° = 140°; мы видим, что уг. 1 = уг. 2, и уг. а = уг. b. Вообще, так как уг. 1 вместе с углом а равен двум прямым (почему?), а уг. 2 вместе с тем же углом а тоже равен двум прямым, то ясно, что уг. 1 должен равняться уг. 2. Итак:
   П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы р а в н ы.
   Повторительные вопросы.
   Какие углы называются противоположными? знаете свойство противоположных углов?

§ 10. Окружность

   До сих пор мы говорили только о прямых линиях. Из к р и в ы х линий остановимся на о к р у ж н о с т и (черт. 26). Окружность чертят циркулем. Острие ножки раздвинутого циркуля втыкают в бумагу, другую же ножку с карандашом вращают вокруг первой; когда карандаш сделает полный оборот, он проведет на бумаге замкнутую кривую – окружность. Та точка, в которую было воткнуто острие циркуля, называется ц е н т р о м окружности. Понятно, что все точки окружности удалены от центра на одинаковое расстояние; это расстояние называется р а д и у с о м окружности. Значит:
   О к р у ж н о с т ь е с т ь к р и в а я л и н и я, в с е т о ч к и к о т о р о й о д и н а к о в о у д а л е н ы о т о д н о й
   т о ч к и, н а з ы в а е м о й ц е н т р о м.
   Прямая, соединяющая две точки окружности через центр, называется д и а м е т р о м.
   Всякая часть окружности называется ее д у г о ю (черт. 27).

   Плоская фигура, ограниченная окружностью, называется к р у г о м.
   Повторительные вопросы
   Что такое окружность? Центр? Радиус? Дуга? – Покажите все это на чертеже. – Все ли радиусы одной окружности равны между собою? – Что больше: диаметр или радиус? Во сколько раз?

   Применения
   3. Гудок завода слышен на 4 км. Начертить в масштабе 1 км в 1 см границу местности, где слышен гудок этого завода.
   Р е ш е н и е. Вокруг точки, обозначающей положение завода, начертить окружность радиусом 4 см.
   4. Радиус круга 100 см. Некоторая точка удалена от центра на 40 см. Лежит ли она внутри круга или вне его? Каково ближайшее расстояние от этой точки до окружности?
   Р е ш е н и е. Точка лежит внутри круга. Ближайшее расстояние ее от окружности надо считать вдоль диаметра, проведенного через эту точку; оно равно 60 см. Дальнейшее расстояние (вдоль того же диаметра) – 140 см.

§ 11. Пересечение окружности с прямою и с другою окружностью

   Начертите одну или несколько окружностей и пересеките их прямыми линиями (черт. 28). Вы убедитесь, что прямая и окружность могут встречаться или в двух точках или в одной. Более двух общих точек прямая и окружность иметь не могут.
   Подобным же испытанием мы найдем, что и две окружности не могут иметь более двух общих точек: они встречаются или в одной или в двух общих точках (черт. 29). Итак, запомним:
   П р я м а я и о к р у ж н о с т ь и л и д в е о к р у ж н о с т и н е м о г у т и м е т ь б о л е е д в у х о б щ и х т о ч е к.


   Применения
   5. В городе два завода в 8 км друг от друга. Гудок одного слышен на 5 км, другого – на 6 км. Изобразите, в выбранном вами масштабе, границы местности, где слышны гудки обоих заводов.
   Р е ш е н и е. Выберем масштаб 2 км в 1 см. Взаимное удаление заводов изобразится тогда отрезком в 4 см. Наметив на чертеже две точки в расстоянии 4 см одна от другой, проведем вокруг одной из них (как около центра) окружность радиусом 21/2 см, а вокруг другой – радиусом 3 см. Окружности пересекутся, и общая часть обоих кругов будет изображать местность, где слышны гудки обоих заводов.
   6. Две радиостанции расположены в 600 км одна от другой. Дальность приема одной 400 км, другой – 300 км. Начертите, в масштабе 100 км в 1 см, границу местности, где можно принимать обе станции.
   Р е ш е н и е сходно с решением предыдущей задачи

§ 12. Измерение углов

   п р я м о й угол, потому что все прямые углы имеют одну и туже величину. Но прямой угол слишком велик, чтобы служить удобной единицей меры; поэтому пользуются некоторою д о л е ю его – именно 90-й. Прямой угол делят на 90 равных частей, и такими частями измеряют все прочие углы, т. е. узнают, сколько этих частей заключается в измеряемом угле. 90-я доля прямого угла называется у г л о в ы м г р а д у с о м. Угол в один градус весьма мал; все же для точных измерений приходится пользоваться даже долями такого угла. Принято употреблять для этого 60-ю долю градуса; она называется у г л о в о ю м и н у т о ю. Итак:
   прямой угол = 90 углов, градусам,
   градус = 60 углов, минутам.
   На письме градус сокращенно обозначается маленьким кружком (как и градус температуры), а минута – знаком ’. Например, 23° 27’ означает 23 градуса 27 минут.
   Объясним теперь, каким образом производится измерение углов на практике.
   Проведем в какой-нибудь окружности два диаметра под прямым углом друг к другу (черт. 30). Получим четыре угла (1, 2, 3 и 4), вершины которых лежат в центре. Угол, вершина которого лежит в центре круга, называется ц е н т р а л ь н ы м углом. У нас имеется, следовательно, 4 равных центральных угла. Легко убедиться, что в этом случае равны и те 4 дуги, которые лежат между сторонами наших углов, т. е. что дуга АD = дуге DB= дуге ВС = дуге СА. Для этого достаточно лишь мысленно перегнуть окружность по начерченным диаметрам. При перегибании по диаметру АВ прямая ODдолжна пойти по ОС, потому что угол 4 равен углу 3; точка D должна оказаться в точке С, потому что OD = ОС (как радиусы одной окружности). Значит, начала (А) и концы дуг ADи СА совпадут; но при этом непременно совпадут и все промежуточные точки обеих дуг, потому что они удалены от центра О одинаково. Таким же образом можно убедиться, что равны между собою все 4 дуги. Вообще, равные центральные углы одной окружности имеют всегда и равные дуги между их сторонами. Поэтому, если каждый из 4-х прямых углов 1, 2, 3, 4 разделить на 90 равных частей, то и дуги между ними разделятся на равные части, которые будут составлять 360-ю долю полной окружности. Эта 360-я часть полной окружности тоже называется «градусом», но – в отличие от углового – д у г о в ы м. Мы видим, что каждому дуговому градусу отвечает один угловой градус; поэтому сколько между сторонами какого-нибудь центрального угла содержится д у г о в ы х градусов, столько же в этом угле у г л о в ы х градусов. Узнать же, сколько между сторонами измеряемого угла дуговых градусов, можно при помощи особого чертежного инструмента – т р а н с п о р т и р а.
   Т р а н с п о р т и р – это металлический или бумажный полукруг (черт. 31), дуга которого разделена на градусы (т. е. на 180 равных частей).
   При измерении угла накладывают на него транспортир так, чтобы вершина утла была в центре полуокружности. Таким образом, измеряемый угол п р ев р а щ а е т с я в ц е н т р а л ь н ы й, и тогда число градусов в его дуге легко отсчитать по делениям, нанесенным на краю транспортира. Диаметр дуги транспортира должен при этом сливаться с одной стороной измеряемого угла. Черт. 32 поясняет сказанное.
   Прибавим еще, что 60-я доля дугового градуса называется «дуговой минутой».
   Над числами, которые получаются от измерения углов, можно производить различные действия – складывать, вычитать, умножать, делить. Если, например, надо сложить два угла: в 14° 32’ и 19° 45’, то подписывают их один под другим, как здесь показано:

   Затем складывают минуты с минутами, градусы с градусами. Так как минут в этом случае получается 77, т. е. на 17 минут больше одного градуса, то в столбце минут записываем 17 минут, а 1 градус прибавляем к сумме градусов. В результате имеем:

   34°17’ Сходным образом выполняются и другие действия.
   Повторительные вопросы
   Что называется угловым градусом? Угловой минутой? – Как они обозначаются? – Какой угол называется центральным? – Что называется дуговым градусом? – Что такое транспортир? – Покажите на чертеже, как им пользоваться.

§ 13. Параллельные прямые. Углы при них

   Важнейшее свойство параллельных линий с л е д у ющ е е: когда прямая линия пересекает ряд параллельных (черт. 34), то образующиеся при этом так называемые с о о т в е т с т в е н н ы е углы равны. На черт. 34 соответственные углы 1, 2, 3, а также углы a, b, с– равны.
   На черт. 35 из 8 образовавшихся углов равны между собою следующие с о о т в е т с т в е н н ы е углы:
   1 и 5
   2 и 6
   3 и 7
   4 и 8
   Поэтому, если на черт. 35 уг. 1 = 50°, то и уг. 5 = 50°; если уг. 2 = 130°, то уг. 6 также равен 130°, – и т. д.

   Предварительные упражнения
   1) На черт. 35 уг. 1 равен 25°. Найти все прочие углы.
   2) На черт. 35 уг. 6 равен 150°. Найти все прочие углы.
   3) На черт. 35 уг. 1 равен а. Найти все прочие углы.

   Из равенства соответственных углов вытекает равенство еще и других углов. Действительно, если уг. 1 = уг. 5, то и у г. 4 = у г. 5 (почему?). Далее: из того, что уг. 2 = у г. 6, следует, что и уг. 3 = уг. 6 (почему?). Рассуждая подобным образом, мы можем установить равенство следующих пар так называемых п е р е к р е с т н ы х углов:
   4 и 5
   3 и 6
   2 и 7
   1 и 8

   Итак, мы установили:
   П р и п а р а л л е л ь н ы х л и н и я х с о о т в е т с т в е н н ы е, а т а к ж е п е р е к р е с т н ы е у г л ы р а в н ы.
   Предварительные упражнения
   1) На черт. 35 уг. 3 = 160 °. Чему равен уг. 5?
   2) На черт. 35 уг. 4 = 28 °. Чему равен уг. 6?
   3) На черт. 35 уг. 2= 156°. Чему равен yrv 8?
   Кроме перечисленных ранее углов, особые названия даются также следующим парам углов при параллельных линиях:
   Углы этих пар не должны быть непременно равны между собою; они имеют другую особенность: сумма их составляет два прямых угла. Легко понять, почему это так: уг. 3 + уг. 4 = двум прямым углам; заменяя уг. 4 равным ему углом 5, узнаем, что уг. 3 + уг. 5 = двум прямым углам. Таким же образом убеждаемся, что углы остальных перечисленных пар в сумме равны двум прямым. Итак, запомним:
   С о о т в е т с т в е н н ы е у г л ы, а т а к ж е п е р е к р е с т н ы е п р и п а р а л л е л ь н ы х р а в н ы м е ж д у
   с о б о ю; п а р а о д н о с т о р о н н и х с о с т а в л я е т в м е с т е д в а п р я м ы х у г л а.

§ 14. Углы с параллельными сторонами

   Начертите несколько пар углов, расположенных так, что стороны одного угла параллельны сторонам другого. Какие здесь возможны случаи? Возможно ли, чтобы обе пары параллельных сторон имели одинаковое направление (например, все направлялись бы влево от вершин углов)? Возможно ли, чтобы параллельные стороны имели встречное направление? Еще какое возможно здесь расположение?
   Рассмотрим свойство углов, расположенных так, что стороны одного угла параллельны сторонам другого и притом одинаково направлены (считая от вершины; см. черт. 36). Нетрудно убедиться, что такие углы всегда равны: продолжив сторону одного угла до пересечения
   со стороною другого угла (черт. 37), видим, что уг. 2 = уг. 3; уг. 1 = уг. 3; значит, уг. 1 = уг. 2. Это верно и при ином расположении углов с параллельными сторонами: когда обе стороны угла направлены п р о т и в о п о л о ж н о о б е и м сторонам другого (черт. 38). Убедиться в этом можно таким же образом, как и в сейчас рассмотренном случае.

   Но если параллельные стороны двух углов имеют в одной паре одинаковое направление, в другой же паре – противоположное, то такие углы не равны (уг. 1 и уг. 2 на черт. 39). Продолжив одну сторону одного угла до пересечения со стороною другого угла, видим, что уг. 2 вместе с уг. 1 составляют два прямых угла (почему?);

   Повторительные вопросы к §§ 13 и 14
   Какие линии называются параллельными? – Покажите на чертеже соответственные углы, перекрестные, односторонние. – Какие из них при параллельных линиях равны? – Какое вам известно свойство односторонних углов? Углов с параллельными сторонами? Какие углы с параллельными сторонами равны и какие не равны? – Каким свойством отли чаются н е р а в н ы е углы с параллельными сторонами?

   Применения §§ 13 и 14.
   7. Прямая линия перпендикулярна к одной из параллельных. Под каким углом встречает она другую параллельную?
   Р е ш е н и е. Тоже под прямым углом, так как соответственные углы при параллельных линиях равны.
   8. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных третьей прямой линией, равен 64°. Чему равны остальные 7 углов (сделайте чертеж и надпишите на нем размеры углов).
   Р е ш е н и е. Углы, смежные с данным = 116°; противоположный = 64°. Такие же размеры имеют и углы, с ними соответственные.

III. ПЕРВЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕУГОЛЬНИКАХ. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ

§ 15. Сумма углов треугольника Предварительные упражнения

   1) На черт. 40 линии АВ и CD параллельны. Укажите в фигуре ABCD равные углы.
   2) На черт. 41 параллельно АВ. Укажите равные углы в этой фигуре.
   3) На черт. 42 CD параллельно АВ. Укажите равные углы в этой фигуре.
   4) Докажите, что на черт. 42 уг. 1 + уг. 2 = уг. 3 + уг. 4.
   Познакомившись со свойствами отдельных прямых линий и углов, перейдем к изучению з а м к н у т ы х фигур. Начнем с фигуры, называемой т р е у г о л ь н и к о м. Это – фигура, ограниченная тремя прямыми линиями; у нее три угла, вершины которых называются вершинами треугольника. Треугольники могут иметь весьма разнообразную форму, в зависимости от величины углов (черт. 43).
   Главное свойство всякого треугольника состоит в том, что какова бы ни была длина его сторон и какую бы форму он ни имел, сумма его трех углов всегда одинакова: она равна двум прямым углам. Покажем, как в этом убедиться.
   Рассмотрим для примера треугольник ABC(черт. 44). Продолжим сторону АС за вершину С, как показано на черт. 45
   Получим угол BCD’, такие углы называются в н е ш-н и м и углами треугольника (в отличие от в н у т р е н-н и х). Легко убедиться, что этот угол должен равняться сумме несмежных с ним внутренних углов А и В. Для этого достаточно лишь провести через вершину С прямую СЕ, параллельную противолежащей стороне АВ. Тогда из двух углов, на которые разделится внешний угол DCВ, один – угол DCE– равен углу А, потому что это соответственные углы при параллельных СЕ и АВ; а другой угол ЕСВ равен углу В, потому что это перекрестные углы при тех же параллельных. Отсюда уг. А + уг. В = углу DCВ. Следовательно, уг. А + уг. В + уг. АСВ = уг. DCB+ ACB = двум прямым углам.
   Приведенное рассуждение мы можем приложить ко всякому треугольнику, какой бы формы и величины он ни был. Во всех случаях мы убедимся, что
   С у м м а у г л о в т р е у г о л ь н и к р а в н а д в у м п р я м ы м у г л а м, т. е. 180°.

   Повторительные вопросы
   Какая фигура называется треугольником? – Сколько у треугольника вершин? Покажите их на чертеже. – Покажите на чертеже внешний угол. – Какая зависимость существует между внешним углом и несмежными с ним внутренними? Как в этом убедиться? – Чему равна сумма углов всякого треугольника?

§ 16. Следствия предыдущего параграфа

   1) Попробуйте начертить треугольник с двумя тупыми углами. С одним тупым и одним прямым. С двумя прямыми.
   2) Какой из углов на черт. 46 больше: уг. 1 или уг. 3? Уг. 1 или у г. 2?
   3) Из точки D (черт. 47) проведен к прямой ВС перпендикуляр DА. Можно ли через ту же точку Dпровести к ВС еще один перпендикуляр, который не сливался бы с DA?
   4) К прямой АВ (черт. 48) проведены три перпендикуляра. Пересекутся ли они между собой, если продолжить их в обе стороны?
   5) Прямую АВ (черт. 49) встречают две прямые CDи EFпод равными со ответственными углами. Пересекутся ли эти две прямые, если продолжить их в обе стороны?
   Из свойств суммы углов треугольника вытекает ряд других свойств фигур. Заметим некоторые из них:
   1) В т р е у г о л ь н и к е н е м о ж е т б ы т ь б о л ь ш е о д н о г о т у п о г о у г л а (подумайте, какова должна была бы быть сумма всех углов треугольника, если бы три или два его угла были тупые, т. е. больше прямого).
   2) В т р е у г о л ь н и к е н е м о ж е т б ы т ь б о л ь ш е о д н о г о п р я м о г о у г л а (почему?)
   3) В н е ш н и й у г о л т р е у г о л ь н и к б о л ь ш е к а ж д о г о н е с м е ж н о г о с н и м в н у т р е н н е г о (см. черт. 45).
   Черт. 48 Черт. 49
   4) Ч е р е з т о ч к у, л е ж а щ у ю в н е п р я м о й, м о ж н о п р о в е с т и к э т о й п р я м о й т о л ь к о о д и н
   п е р п е н д и к у л я р. – Если бы, например (черт. 50), к прямой МN можно было провести из точки А больше одного перпендикуляра, – скажем, кроме АВ еще АС, – то в треугольнике ABCоказалось бы два прямых угла, а это, мы знаем, невозможно.
   5) Н е с к о л ь к о п е р п е н д и к у л я р о в к о д н о й п р я м о й л и н и и (черт. 48) в с е г д а п ар а л л е л ь н ы
   м е ж д у с о б о ю. Если бы они были не параллельны, т. е. если бы они встречались, то составились бы треугольники с двумя прямыми углами каждый.
   6) П р я м ы е л и н и и, в с т р е ч а ю щ и е о д н у и т у ж е п р я м у ю п о д р а в н ы м и с о о т в е т с т в е н н ы м и
   у г л а м и (черт. 51), п а р а л л е л ь н ы м е ж д у с о б о й. – Если бы они были не параллельны, т. е. если бы встречались, то уг. 2, например, оказался бы внешним углом треугольника, а р а в н ы й е м у уг. 1 – внутренним углом того же треугольника; но это невозможно (см. следствие 3-е).
   На последнем свойстве основан способ проводить параллельные линии с помощью линейки и чертежного треугольника (черт. 52).
   Повторительные вопросы
   Могут ли три угла треугольника быть тупыми? А только два угла? – Может ли в треугольнике быть три прямых угла? А два прямых угла? (Попробуйте начертить такой треугольник). – Сколько перпендикуляров можно провести к прямой линии из внешней точки? – Каким свойством обладают два перпендикуляра к одной прямой? – Каким свойством обладают две прямые, встречающие третью под равными соответственными углами? – Как чертят параллельные помощью линейки и чертежного треугольника?

§ 17. Как построить треугольник по трем сторонам

   Расстояния между тремя селениями 7 км, 5 км и 6 км. Начертить расположение этих селений в масштабе 1 км в 1 см.
   Ясно, что точки, изображающие селения, нужно расположить на вершинах треугольника, стороны которого 7 см, 5 см и 6 см.
   Объясним, как начертить («построить») этот треугольник
   Проведем (черт. 53) по линейке прямую линию MNи отложим на ней помощью циркуля одну из сторон треугольника – напр., в 6 см. Концы этого отрезка обозначим буквами А и В. Остается найти такую третью точку, которая удалена от А на 7 см и от В на 5 см (или наоборот): это и будет третья вершина треугольника со сторонами 7 см, 5 см и 6 см. Чтобы эту точку разыскать, раздвигают сначала концы циркуля на 7 см и описывают окружность вокруг точки А, как около центра (черт. 54). Все точки этой окружности отстоят от Aна 7 см; среди них нужно найти ту, которая отстоит от вершины В на 5 см. Для этого вокруг В, как около центра, описывают окружность радиусом 5 см. Где обе окружности пересекаются, там лежат точки, удаленные от А на 7 см и от В на 5 см (черт. 54). Наши окружности пересекутся в двух точках С и D. Соединив их с А и В, получим два треугольника САВ и DAB, имеющие стороны в 6 см, в 7 см и в 5 см.
   Нетрудно убедиться, что треугольники эти равны, т. е. будут совпадать, если их наложить один на другой. Для этого перегнем черт. 54 так, чтобы линией перегиба была прямая МN, и чтобы верхняя часть чертежа покрыла нижнюю. Обе окружности перегнутся при этом по их диаметрам, и верхние полуокружности совпадут с нижними (почему?); но если совпадают все– точки обеих полуокружностей, то должны совпадать и точки их пересечений С и D, а тогда сольются и стороны обоих треугольников. Значит, треугольники CAB и DАВ – равны.
   Мы могли бы вести построение треугольника и в другом порядке: отложить на МN сначала сторону в 7 см и описать окружность радиусами 5 см и 6 см. Или же отложить сначала сторону в 5 см, и описать окружность радиусами в 6 см и в 7 см. При любом порядке построения у нас будут получаться одни и те же треугольники, только различно повернутые (или перевернутые на левую сторону). В подробных учебниках математики доказывается, что все треугольники, составленные из одинаковых сторон, равны между собою (т. е. при наложении совпадают всеми точками). Другими словами, если три стороны одного треугольника порознь равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники можно наложить друг на друга так, чтобы все их точки совпали. Это выражают короче так:
   Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о т р е м с т о р о н а м.
   Так как при совпадении сторон треугольников совпадают и их углы, то ясно, что в равных треугольниках между равными сторонами (и против равных сторон) лежат и равные углы. Равенство трех сторон треугольников есть признак того, что у этих треугольников равны и углы. Значит, в треугольнике нельзя изменить углов, не меняя длины его сторон: иначе оказалось бы возможным получить треугольники с одинаковыми сторонами и в то же время с неодинаковыми углами. Этим свойством треугольника часто пользуются на практике. Например, чтобы рама АВCD (черт. 55) прочно сохраняла свою форму ее разбивают перекладкой BDна два треугольника (черт. 56). Тоже назначение имеет и сеть треугольников в частях мостов и др. сооружений (черт. 57 и 58).
   Всегда ли по трем сторонам можно построить треугольник? Вникая в описанное раньше построение, мы поймем, что третья вершина треугольника отыскивается только тогда, когда окружности пересекаются. Если бы на черт. 54 сторона АВ была не в 6 см, а в 15 см, то другие две стороны (7 см и 5 см) давали бы слишком короткие радиусы, чтобы окружности могли пересечься, и тогда треугольник нельзя было бы построить. Вообще, если один отрезок больше, чем сумма двух других, то из таких отрезков нельзя построить треугольника. Это и прямо видно из фигуры всякого треугольника (черт. 44): прямая линия – самая короткая из всех, проведенных между ее концами; поэтому меньше, чем АВ + ВС; АВ меньше, чем АС + ВС; ВС меньше, чем АВ + АС. Вообще:
   В т р е у г о л ь н и к е к а ж д а я с т о р о н а м е н ь ш е с у м м ы д в у х д р у г и х.

   Повторительные вопросы
   Постройте треугольник, стороны которого 44 мм, 58 мм и 66 мм. – Какие углы равны в равных треугольниках? – Из всяких ли трех отрезков можно построить треугольник? – Какая зависимость существует между сторонами треугольника?

   Применения
   9. В городе три завода, взаимно удаленные на 4,8 км, 2,4 км и 3,2 км. Начертите их расположение в масштабе 80 м в 1 мм.
   Р е ш е н и е. Строят треугольник со сторонами 6 см, 3 см и 4 см.
   10. Возможен ли треугольник со сторонами в 10 см, 20 см и 30 см? 3 см, 4 см и 5 см? 6 см, 6 см и 13 см!
   Р е ш е н и е. В первом случае невозможен, так как 10 + 20 не больше 30. Во втором случае возможен. В третьем случае невозможен: 6 + 6 не больше 13.
   11. Почему кратчайшее и дальнейшее расстояние от точки до окружности надо считать по прямой, проходящей через центр круга?
   Р е ш е н и е. Рассмотрим задачу для точки А (черт. 59), расположенной внутри круга. Покажем, что АВ короче АМ.

   Соединив О с М, рассуждаем так: ОA + AMбольше ОМ (почему?); но ОМ = ОВ, значит ОA + AMбольше ОВ. Отняв по ОА от обоих сравниваемых расстояний, мы имеем: АМ больше АВ. Сходным образом можно показать, что дальнейшее расстояние точки А равно АС, т. е. что АС больше, напр., АN. Предлагаем читателю самому это доказать, а также рассмотреть случаи, когда точка лежит вне окружности.

§ 18. Как построить угол, равный данному

   Для этого отметим на каждой из сторон данного угла по точке, например А и С, и соединим А и С прямой линией. Получим треугольник АВС. Построим теперь на прямой MNэтот треугольник так, чтобы вершина его В находилась в точке К: тогда у этой точки и будет построен угол, равный углу В. Строить же треугольник по трем сторонам ВС, ВА и АС мы умеем: откладываем (черт. 62) от точки К отрезок KL, равный ВС; получим точку L; вокруг K, как около центра, описываем окружность радиусом ВА, а вокруг L – радиусом СА. Точку Р пересечения окружностей соединяем с К и Z, – получим треугольник КPL, равный треугольнику ABC; в нем угол К = уг. В.
   Это построение выполняется быстрее и удобнее, если от вершины В отложить р а в н ы е отрезки (одним расстворением циркуля) и, не сдвигая его ножек, описать тем же радиусом окружность около точки К, как около центра.

§ 19. Как разделить угол пополам

   От вершины А на сторонах угла отложим равные отрезки АВ и АС (черт. 64; это делается одним расстворени-ем циркуля). Затем ставим острие циркуля в точки В и С и описываем равными радиусами дуги, пересекающиеся в точке D. Прямая, соединяющая А и Д делит угол А пополам.
   Объясним, почему это. Если точку Dсоединим с В и С (черт. 65), то получатся два треугольника ADCи ADB, у которых есть общая сторона AD; сторона АВ равна стороне АС, а ВD равна CD. По трем сторонам треугольники равны, а значит, равны и углы BADи DАС, лежащие против равных сторон ВD и СD. Следовательно, прямая ADделит угол ВАС пополам.
   Применения
   12. Построить без транспортира угол в 45°. В 22°30’. В 67°30’.
   Р е ш е н и е. Разделив прямой угол пополам, получим угол в 45°. Разделив угол в 45° пополам, получим угол в 22°30’. Построив сумму углов 45° + 22°30’, получим угол в 67°30’.

§ 20. Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними

   Как это сделать?
   Мы можем поступить так: в стороне от болота выберем такую точку С, откуда видны обе вехи и возможно измерить расстояния АС и ВС. У г о л С измеряем помощью особого угломерного прибора (называемого а с т р о л я б и е й). По этим данным, т. е. по измеренным сторонам ACи ВС и углу С между ними, построим треугольник ABCгде-нибудь на удобной местности следующим образом. Отмерив по прямой линии одну известную сторону (черт. 67), например АС, строят при ней у точки С угол С; на другой стороне этого угла отмеряют известную сторону ВС. Концы известных сторон, т. е. точки А и В соединяют прямой линией. Получается треугольник, в котором две стороны и угол между ними имеют наперед указанные размеры.
   Из способа построения ясно, что по двум сторонам и углу между ними можно построить т о л ь к о о д и н треугольник. поэтому, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого и углы между этими сторонами одинаковы, то такие треугольники можно друг на друга наложить всеми точками, т. е. у них должны быть равны также третьи стороны и прочие углы. Это значит, что равенство двух сторон треугольников и угла между ними может служить признаком полного равенства этих треугольников. Короче говоря:
   Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и.
   Применения
   13. Чтобы определить расстояние от А до В через озеро (черт. 68), выбирают такую точку С, из которой видны обе точки А и В. На продолжении прямой АС отмеривают от точки С длину АС, а на продолжении линии ВС отмеривают от С длину ВС; получают точки Е и DРасстояние между ними равно искомому расстоянию АВ. Почему?
   Р е ш е н и е. Треугольники ACBи DCEравны по двум сторонам (А С = СЕ; ВС = CD) и углу между ними (уг. АСВ = = уг. DCE, как противоположные). Значит стороны и Е и А В равны, как лежащие в равных треугольниках против равных углов.

§ 21. Как разделить отрезок пополам

   Если, например, требуется разделить пополам отрезок А В (черт. 69), то помещают острие циркуля в точки А я В и описывают вокруг них, как около центров, одинаковым радиусом две пересекающиеся дуги (черт. 70). Точки их пересечения С и Dсоединяют прямою, которая и АВ пополам: АО = ОВ.
   Чтобы убедиться, что отрезки АО и ОВ должны быть равны, соединим точки C и Dс концами А и В отрезка (черт. 71). Получатся два треугольника ACDи BCD, у которых три стороны соответственно равны: АС = ВС; AD= BD; CD – общая, т. е. принадлежит обоим треугольникам. Отсюда вытекает полное равенство указанных треугольников, а следовательно и равенство всех углов. Значит, между прочим, равны углы ACDи BCD. Сравнивая теперь треугольники АСО и ВСО, видим, что у них сторона ОС – общая, AC= СB, а угол между ними АСО = уг. ВСО. По двум сторонам и углу между ними треугольники равны; следовательно, равны стороны АО и ОВ, т. е. точка О есть середина отрезка АВ.

§ 22. Как построить треугольник по стороне и двум углам

   На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A. Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.