Интеллектуальные развлечения. Интересные иллюзии, логические игры и загадки.

М.М. Новосёлов

АБСТРАКЦИЯ В ЛАБИРИНТАХ ПОЗНАНИЯ
Часть 1
(МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ)
Москва
2000

ПРЕДИСЛОВИЕ
Актуальность темы “абстракция” определяется её историей. Более двух тысячелетий эта тема не сходит с повестки для любой теории познания, а её обсуждение и подходы к её решению определяют лицо самой теории познания. Для философии тема абстракции – это тот нелёгкий путь, на котором она сознательно отказывается от автономного существования, погружаясь в область гносеологических проблем “положительной науки”. При этом характер философского анализа проблем абстракции нередко оказывает неоспоримое влияние на формирование образа той или иной положительной отрасли знания, если не непосредственно, то через задачу обоснования, поскольку в вопросах обоснования проблема отношения “теория – опыт” сводится к проблеме “абстракция – опыт”. Именно здесь и вступают в силу методологические (философские) установки. Они особенно существенны тогда, когда общая потребность в обосновании определилась и вопрос только в форме обоснования.
Методологические установки, представленного выше повествования, сложились в начале 60-х гг. Позднее они приобрели характер “методологической программы” – явления типичного для второй половины 20-го века. Характеризуя интервальный подход как методологическую программу, её авторы выделили для себя пять основных её составляющих: 1) исходную единицу анализа (её исходный гносеологический таксон); 2) исходную проблему, определяющую направленность исследования; 3) главный гносеологический тезис, выражающий взгляд на возможность познания (“да” или “нет”); 4) конструктивный элемент программы, в котором представлена основная идея авторов программы; 5) наконец, общую модель процесса познания.
Поскольку главный гносеологический тезис интервальной программы включал безусловное “да”, а в качестве исходной единицы анализа было принято понятие абстракции, возникала естественная потребность в согласовании этих двух элементов программы. В самом деле, определяя абстракцию как метод намеренно неполного знания (а это следовало из всех известных “словарных”, да и не только словарных, её толкований), необходимо было дать объяснение почти парадоксальному тезису, который по существу составлял четвёртый пункт интервальной программы: “знание может быть частичным и всё-таки оставаться полным в себе”. Признаюсь, ни тогда, ни теперь я не знаю, как это сделать с точки зрения господствующей прадигмы, утверждающей, что всякая абстракция есть “упрощение”, “огрубление”, “омертвление” действительного положения вещей. Следовательно, ревизия понятия “абстракция” в этом смысле была необходима.
Но тревожил и информационный аспект проблемы. Если главный гносеологический тезис содержит безусловное “да”, то по мере углубления познания информация должна расти, а не исчезать. Но чистое отвлечение (если только не иметь в виду временный отказ из тактических соображений) есть потеря информации. А это в конечном счёте ведёт к ничему. Чтобы сохранить третий пункт, пришлось ввести принцип наследования информации по мере реализации последовательных обобщений.
Наконец, вопрос о полных истинах, об исчерпывающем знании о чём-либо, указанный выше, – это вечный философский вопрос. И ответ на него, с точки зрения всё той же парадигмы, был таков: полное знание (то бишь абсолютная истина) абсолютно недостижима. Мы можем только асимптотически приближаться к полному знанию. Зато на этом асимптотическом пути мы кое-что можем знать приблизительно (то бишь относительно).
Признаюсь, я никогда не понимал этой теории. Во всяком случае, она не давала вразумительный ответ на вопрос об отношении полного (абсолютного) и неполного (относительного) знания. Если для наглядности мы представим себе “чистую” объективную реальность в виде прямой, перпендикулярной в точке а, то предел асимптоты в этой точке, как известно, будет равен бесконечности. И, как ядовито заметил Галилей, в бесконечности такую же часть составляют “много”, как “мало” и как “ничто”.
Я всегда считал, что истина либо есть, либо её нет. И если я говорю, что “это истина, хотя ещё и не вся истина”, то это только faзon de parer, а вовсе не убеждение в существовании неких “полуистин”. Я понимаю интуиционистов, когда речь идёт о неразрешимости или неустановимости истинностных значений высказываний. Но ведь при этом, как показал Гливенко, речь не идёт о каком-либо третьем значении истинности – о чём-то, что не истинно и не ложно, а приблизительно истинно, скажем истинно на одну треть.. Поэтому интервальный подход, отказываясь от постулата об асимптотическом приближении, заменяет его понятием о гносеологической точности знания. Именно в связи с этим поняя_ания. Именно в связи с этим пон_о на одну треть.. Поэтому интервальный подход, отказываясь от постулата об асимптотическом приближении, заменяет ановятся средством “полного в себе” знания в соответствии с тезисом Эшби и научной позицией Галилея: “я утверждаю, что человеческий разум познаёт некоторые истины столь совершенно и с такой абсолютной достоверностью, какую имеет сама природа”. Этого же убеждения держались Лобачевский и Пуанкаре. И об этом я подробно говорю в этой книге.
Понятно, что в свете сказанного, конструктивным элементом интервальной программы должна была стать система абстракций, тактика и стратегия их применения в познавательном процессе. А для этого оказалось невозможным ограничиться той связкой абстракций, которая была унаследована от традиционной логики с добавлением математических абстракций бесконечности и осуществимости. При интервальном толковании познавательного процесса в понятие “абстракция” следовало вложить больше содержания, чем его могла дать идея “отвлечения”. Кроме того, потребовалось поставить вопрос о гносеологическом мероопределении абстрактных объектов и ввести для этой цели ряд новых для философии понятий – интервал абстракции, интервальная ситуация, интервальное равенство, интервальная неразличимость, гносеологическая фокусировка и ряд других. Их использование позволило по-новому поставить проблему истинности знания. А такие понятия, как “интервальная ситуация”, “гносеологическая фокусировка” или “гносеологическая точность” позволяют, помимо прочего, реабилитировать некоторые научные гипотезы и теории, снять с них обвинение в противоречивости или некорректности.
Работая в новой области, неизбежно приходится руководствоваться интуицией. Но если иметь в виду целое, ради которого и приходится работать, то нельзя забывать, что ясность целого определяется ясностью его частей. На сегодняшний день интервальная концепция, несмотря на обилие фактов её подтверждающих, всё ещё является феноменологической по существу ввиду недостаточной разработанности её логических основ. Однако кое-что в этом направлении всё же сделано – заявлена новая область исследований, которую я называю логикой абстракций. И не только заявлена. Для некоторых абстракций уже эксплицирована сопряжённая с ними логика. В частности, на этой основе строится новая (интервальная) концепция тождества. При этом знаменитый лейбницевский принцип оказывается предметом более точного гносеологического анализа.
Об этом я не говорю в этой части книги. Логике абстракций я надеюсь посвятить вторую часть. Её основная идея – сопоставить каждой вводимой абстракции ясный логический образ. Это был бы первый шаг к созданию теории абстракций par exceence, в которой абстракции были бы замкнуты логической связью, а не блуждали бы одиноко каждая сама по себе. Конечно, для некоторых абстракций логические модели уже есть. Но эта работа требует продолжения.
Наконец, я хотел бы отметить ещё один факт, не отражённый в этой книге. Если интервальная концепция познания верна, то в общей картине мира придётся отказаться от привычного “идеала порядка”. В общем случае, мы не можем говорить об “интервальной реальности” как упорядоченной структуре в математическом смысле термина “порядок”. Если же мы хотим сохранить термин “структура”, то с большой вероятностью следует ожидать структуру с “испорченным порядком”. Пользоваться для её характеристики такими понятиями, как “иерархичность”, “симметрия” и пр. придётся с большой осторожностью. Интервальная структура, вообще говоря, не моделируется кристалической решёткой, хотя в локальной области порядок, конечно, возможен. Таким образом, отаправляясь от чисто логической (а не физической) точки зрения, интервальный подход mutatis mutandis оказывается в общем круге идей, провозглашённых синергетикой.
Надеюсь, что эта работа не расходится с установками, указанными выше. Соответственно, и задачи, поставленные в ней, определяются, во-первых, интервальным методом исследования (с целью по возможности адекватно отразить некоторые реалии, относящиеся к сфере общей научной методологии) и, во-вторых, постоянной необходимостью развития и совершенствования логики научного познания, в которой проблемы научной абстракции и абстрактных моделей, равно как и всей логико-методологической составляющей, во многих случаях являются определяющими для содержания научных теорий. В 60-е гг., когда логика научного познания получила в России возможность для самостоятельного и более полного развития, тема абстракции привлекала многих отечественных методологов науки. Однако со временем интерес к этой теме был утрачен, хотя основной объект изучения, – процессы формирования и использования абстракций в качестве важнейшей составляющей технологии научного мышления, – остался. Между тем, собственное развитие науки и соответствующие перемены в способах и средствах научного познания требует постоянного обновления этой темы, обсуждения её с различных философских и методологических позиций и решения тех проблем, которые возникают или остаются нерешенными или необъяснёнными. При этом любое углублённое осмысление характера абстрагирующей работы мышления значимо не только для философии. В частности, оно необходимо для прикладной логики и математики в условиях глобальной компьютеризации информационных процессов и признания ключевой (технологической) роли процессов абстракции при создании машинных программ. Не случайно тема абстракции стала одной из центральных в информатике. Но если потребность в абстракциях (и их анализе) весьма ощутима в случае оптимального оперативного планирования вычислений, где информационные процессы сравнительно скромны, то в случае обработки и преобразования произвольной знаковой информации фундаментальная роль абстракций сомнению не подлежит.
Введение. Философия и наука
В каком-то смысле наука и философия представляют
собой лишь разные аспекты одного великого дела
человеческого мышления.
(Альфред Норт Уайтхед, “Приключение идей”)
Философия больше, чем любая конкретная наука,
связана со взаимоотношениями различных наук.
(Бертран Рассел, “Логический атомизм”)
Известно, что к проблемам познания приводит естественное развитие предмета, историческая необходимость, обычная любознательность или сомнение, да мало ли вообще что! Но в любом случае и философия, и наука начинаются если не с удивления, то с вопроса. Посмотреть на “обычное” необычным образом, сделать некоторое неизвестное предметом размышления, предметом мысленного или экспериментального анализа – это непосредственный первый познавательный акт. И этот акт в своей основе является не только специально научным (если таков предмет и такова цель исследования), но и философским, определяемым мировоззрением исследователя, его “духовной установкой”, в чём, собственно, и проявляется философская составляющая научной работы. Важность этой составляющей часто недооценивается. Её считают чуждой точному “складу” науки, отводя философу скромную роль комментатора готовых результатов. Между тем, философский анализ в сфере “точных понятий” особенно необходим тогда, когда интерес к этим понятиям является не только субъективным, а вызревает “изнутри”, в недрах самой этой сферы, обусловленный необходимостью её дальнейшего развития. В этом случае он оказывает неоспоримое влияние на развитие “собственно научных” идей и методов. По замечанию академика Вернадского, именно исходная философская установка SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“в общем и в частностях создаёт ту среду, в которой имеет место и развивается научная мысль. В значительной мере она её обусловливает, сама меняясь в результате её достиженийSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”.
К примеру, синтез философии и математики, начиная с античности и кончая её современным состоянием, можно наблюдать на каждом новом этапе развития математической мысли. Каждое из известных нам сегодня математических направлений имеет определённый философский смысл, являясь реализацией тех или иных философских установок в науке. Что же касается современной формальной логики, то её связь с философией стимулируется прежде всего задачами обоснования математических концепций – научным направлением, имеющим весьма общий методологический характер.
Философский элемент в рамках методологии науки представляет самосознание науки, размышление над её принципами, правилами и методами и даже над стилем мышления, применяемом в научном исследовании. Философия науки – это мысль “второго порядка”, мысль о мысли, рефлексия над тем, что уже так или иначе принято как знание первого порядка. Эта философская рефлексия, вообще говоря, весьма далека от функций “контроля и регулирования” науки, хотя она и служит критическому анализу научного знания. Это скорее заинтересованный “взгляд со стороны”, помогающий научному творчеству избежать изоляции от общих проблем науки в их историческом и в их методологическом аспекте и не “утонуть в мелочах”.
Необходим ли для науки такой взгляд?
Может ли наука обойтись своими силами и без участия философской мысли, определённых философских установок?
На эти вопросы разные мыслители отвечали по-разному. Мах, к примеру, отвечал, что “да”, а Эйнштейн, напротив, – что безусловно “нет”. И хотя Пайс замечает, что философия, расширив кругозор Эйнштейна, не оказала при этом прямого влияния на его творчество, сам Эйнштейн смотрел на философию не только как на превосходное прибежище научной мысли, но и полагал, что философские концепции необходимы для создания науки. В частности, он считал, что наука SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“без теории познания (насколько это вообще мыслимо) становится примитивной и путанойSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”. Близкого взгляда придерживался, по-видимому, и Николай Николаевич Лузин, говоря, что философские рассмотрения при их постоянной неопределённости служат SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“для того, чтобы отличить истинно плодотворное направление от бесконечного множества другихSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”. В свою очередь, Вернадский писал, что никогда SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“не наблюдали мы... науки без философии, и, изучая историю научного мышления, мы видим, что философские концепции и философские идеи входят как необходимый, всепроникающий науку элемент во все времена её существованияSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”.
Отыскать чистый случай философского влияния на развитие науки, коль скоро речь идёт о значительных временных периодах этого развития, разумеется, очень нелегко. Но иногда это всё же бывает заметно сразу. К примеру, SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“смутно очерченные философские идеи относительно понятия существования в математике привели к созданию таких формализованных логических систем, которые с математической точки зрения оказались эквивалентными теории решёток открытых подмножеств в топологических пространствахSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”. К слову сказать, наследники этих “философских идей” при этом активно чурались привнесению в математику каких-либо метафизических аргументов, хотя отчётливо понимали, что математика, как и философия, является умозрительной наукой, направленной на изучение “определённых функций человеческого разума”, и потому, как таковая, сродни философии .
Тут, конечно, можно посетовать на то, что философия не раз давала повод вспоминать о предостережении Исаака Ньютона, который сравнивал философию со склочной сутяжной дамой и даже провозгласил тезис: “физика, берегись метафизики!”. Но если сегодня разрыв между наукой и философией представляется много глубже, чем это было, к примеру, в эпоху Нового времени, от которой мы ведём счёт современной науки, то причины этому вовсе не в склочном характере философии .
Быть может, отчасти в этом “повинно” то направление в философии (экзистенциализм), которое величайшим её достижением объявило право на философское познание “вне науки”, но вовсе не потому, что такое познание в принципе возможно, а потому, что принципиально невозможно как раз научное познание – познание SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“через объект, через общие понятия (читай: через абстракции – М.Н.), отнесённые к объектамSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”. А это совсем не та позиция, которая, признавая за философией свободу спекулятивного творчества вне науки, ставит философию между наукой и теологией. SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“Всё точное знание, – говорит Рассел, – принадлежит науке; все догмы, поскольку они превышают точное знание, принадлежат к теологии. Но между теологией и наукой имеется Ничья Земля, подвергающаяся атакам с обеих сторон; эта Ничья Земля и есть философияSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12” .
Промежуточная позиция философии мучительна сама по себе независимо от того, имеются ли основания для подобных атак. К тому же не раз случалось, что философские системы, увлекавшие талантливых мыслителей и обещавшие так много при своём рождении, становились со временем подобны пустующему храму, в который не ходят, потому что утрачен смысл священных писаний и значений символов. К счастью, с философской мыслью в целом, как перманентным явлением в сфере духовного развития человеческих сообществ, этого не случалось никогда, ведь философия – это часть гуманитарной культуры, зеркало, в котором, по выражению Сартра, человек видит своё лицо.
Известно, что большая часть нашей интеллектуальной активности основана на господствующих в данное время стандартах в сфере культуры, образования, языка и мышления. Даже самые оригинальные идеи находятся в плену определённой традиции. Как отметил уже Аристотель, то, что мы ищем, определяется тем, что мы знаем. И любопытно, что философия задаёт свои вопросы и отвечает на них обычно тогда, когда ещё молчит наука. Это верно прежде всего по отношению к философии науки, – своего рода амальгамы, составленной из определенных философских концепций и собственно научных концепций и фактов, которые призваны служить основанием (подтверждением) этих концепций. Правда, потребности нашего духа в основаниях для наших убеждений и само понятие “разумных основаниий” исторически и социально обусловлены. Нередко такие основания создаются и ad hoc. Но это не меняет главного в отношениях философии и науки: именно пересечение философского и частно-научного подходов приводит к возникновению самостоятельных форм самосознания науки с их преимущественным вниманием к основаниям научного познания, к предпосылкам и абстракциям, которые лежат у истоков этих оснований и которые во многом ответственны за “траекторию развития” научного познания, особенно в переломные моменты этого развития. И было бы опрометчиво отрицать, что опыт философского анализа оказывал в прошлом и оказывает теперь неоспоримое влияние на выработку конкретно-научных идей, входит в историю этих идей. Если со временем он выносится за скобки этих идей, то только как их общий множитель. Серьёзная оценка научного направления в конечном счёте сводится к умножению на этот множитель.
Вот почему философия науки – это не только предистория науки, не только “строительные леса”, которые после постройки какой-либо точной отрасли здания можно и даже нужно отбросить. Говоря о философской составляющей научного знания, я не думаю, что она чужда той строгой архитектонике понятий, которая развивается из “смутно очерченных философских идей”. Каждая законченная научная теория в своих понятиях и методах навсегда сохраняет характер инспирировавшей её философской мысли, тех или иных духовных установок.
Влияние философского анализа не всегда, конечно, оказывается прямым, приводящим к стадии конкретно-научных разработок. Но, по крайней мере, оно проявляется косвенно – в определённой гносеологически значимой ситуации, в стандартах, нормах и идеалах концептуального оформления научного знания, в способах его ассимиляции и трансляции, в частности, в той духовной установке, руководствуясь которой, ученые понимают и объясняют объективную ценность результатов их работы. Не случайно в рамках собственно научных исследовательских программ, с одной стороны, сохраняется определённый “гносеологический запрос” при выборе путей исследования, а с другой – потребность в философском осмыслении результатов научных исследований, полученных на выбранном прежде пути.
Об этом очень образно высказался Герман Вейль, научную деятельность которого неизменно сопровождали “философские побуждения”: SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“В духовной жизни человека отчётливо различаются, с одной стороны, сфера действия (Handen), созидания форм, конструирования, – это сфера, которой посвятили себя активно работающие художники, учёные, инженеры, государственные деятели и которая подчинена императиву объективности, – и сфера осмысления (Besinnung), с другой стороны; эта сфера реализуется в понимании и на неё следует смотреть как на борьбу за смысл (Sinn) наших действий как собственную сферу философа. Творческому деянию, не контролируемому осмыслением, грозит опасность утраты смысла – оно может сбиться с пути и, окостенев, превратиться в рутину, но и осмысление подстерегает опасность – выродиться в подрывающие творческие силы человека “рассуждения по поводу”, которые никого ни к чему не обязываютSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”.
Философия – это одно из многих измерений нашей духовной жизни и нашей интеллектуальной организации. И сама философия, как известно, первая подвергла критическому анализу особенности этой интеллектуальной организации, те основные её формы, посредством которых осуществляется понимание (осмысление) всех прочих явлений жизни и действительности. Она сделала это, создав теорию познания, – основной предмет изучения ключевых средств, методов и условий познания, к которым человеческое сообщество (учёный мир) обращается время от времени, независимо от того, как далеко оно продвинулось в своём цивилизованном развитии.
Образно наше познание можно представить как вектор-процесс, который переводит наше сознание из одного состояния знания в другое, часто более глубокое. И хотя это только образ, своего рода метафора, эта метафора полезна в особенности применительно к философским системам (теориям), которые, как и векторы, трудно сравнивать по признакам “лучше” или “хуже”, но можно сравнивать по их модулям – по величине полезного результата, по эвристическому потенциалу, по объёму “замеченного” и поставленных вопросов. Ведь философия, по замечанию того же Аристотеля, постоянно ищет свой предмет исследования. Она ищет “загадки мира”, хотя никогда их не решает (Вернадский).
Конечно, поиск ответов на философские вопросы дело весьма и весьма затруднительное не только потому, что массив информации необычайно велик. Просто нет общепринятых (общезначимых) ответов на эти вопросы в принципе. Ситуация очень похожа на ту, с которой мы встречаемся при разрешении парадоксов. Имеется множество правдоподобных решений, но нет решения, с которым согласились бы все. Поэтому каждый должен сам выбирать для себя подходящую философию, такую, которая удовлетворит его мировоззренческие запросы, потребность в жизненной перспективе или в перспективе научного исследования.
Выше я выделил философию как часть нашей умственной культуры. Подобно образом выделяют и технологию как часть нашей материальной культуры. И хотя это части одного общего явления, они не всегда соседствуют (сосуществуют) в согласии между собой или связаны отношением функциональной (линейной) или причинной зависимости. Но всё же некоторая корреляция (и нередко даже отрицательная корреляция) между ними определённо есть.
Зато у философии и науки характер явно “родственных отношений”, если только согласиться с весьма общим толкованием науки как SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“попытки привести хаотическое многообразие нашего чувственного опыта в соответствие с некоторой единой системой мышленияSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”. И дело не в том, что первые такие системы были созданы самой философией. Много важнее то, что и наука, и философия, создавая системы мышления, рождаются из потребности человеческого разума перейти пределы непосредственно увиденного и услышанного, перейти в мир абстрактных реалий, в мир причин, законов и принципов: SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“если мы хотим получить законченную, замкнутую в себе, закономерную картину мира, то мы должны допускать за вещами, которые мы видим, ещё другие, невидимые вещи и искать за пределами чувств ещё скрытые факторыSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”.
Наблюдение, измерение, эксперимент – это основные элементы чувственного опыта. SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“Красивый эксперимент, – говорил Эйнштейн, – сам по себе часто гораздо ценнее, чем двадцать формул, добытых в реторте отвлечённой мыслиSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”. И всё же абстрактные понятия – это основные элементы умственного опыта, рационального осмысления действительности, хотя и те, и другие выступают как сопряженные моменты в диалектике познания того, что нередко называют “абсолютной истиной”: от данных наблюдений мы переходим к абстрактным формам, а затем вновь возвращаемся к этим данным, проверяя надёжность созданных разумом форм.
Размышляя об этой SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“странной двойственности научной мысли, требующей одновременно эмпирического и рационалистического языка для своего выраженияSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”, не следует забывать о том, что, создавая понятия “по ту сторону явлений” чувственного опыта, приходится, по выражению Пуанкаре, “перескакивать бездну”. Вот почему главная проблема любой теории познания (будь то эмпиризм или рационализм) – это проблема универсальных утверждений (SYMBOL 34 f "Symbo" s 12"-утверждений), проблема обоснования их истинности. И здесь пути философии и науки нередко радикально расходятся.
Наука ошибается не в открытых ею законах, а в их обычной оценке как абсолютных, то есть безусловных, истин. Открытые ею законы она не любит представлять как гипотезы. Hypotheses non fingo сказал Ньютон, отдавая на суд истории свои “Математические Начала”. Но для философии проблема абсолютной истины – это “открытая проблема”, подобно тому, как проблема “десяти нулей подряд” в разложении числа SYMBOL 112 f "Symbo" s 12p – это открытая проблема математики. Именно в этом (философском) контексте прозвучал когда-то расселовский вопрос: а есть ли вообще знание столь неоспоримое, что ни один разумный человек не может усомниться в нём?
SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“Этот вопрос, – говорит Рассел, – который на первый взгляд может показаться нетрудным, на самом деле труднейший из возможных. Если мы представим себе все трудности, препятствующие ясному и прямому ответу, то этим мы хорошо подготовимся к изучению философии, так как философия есть попытка ответить на эти последние вопросы, ответить не необдуманно и догматически, как мы отвечаем в обыденной жизни и даже в науках, но критически, выяснив предварительно как трудность самого вопроса, так и неопределённость и неотчётливость, свойственные нашим обыденным представлениямSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”.
Добавлю, что для многих философских “систем мышления” такое знание (абсолютная истина) подобно бесконечно удалённой точке проективной геометрии: оно лежит дальше всякого условного (относительного) знания, которое одно достижимо в практике научного познания и в котором допускается сомневаться. Абсолютная истина – это скорее направление, чем результат познания .
В виду многообразия научных и философских систем мышления трудно, конечно, дать полный их сравнительный анализ. Известно, что большинство великих философских систем теснейшим образом связаны с научным познанием мира, с научным мировоззрением. Поэтому великие философы сами нередко были активными строителями этого мировоззрения (Аристотель, Декарт, Лейбниц, Кант, Рассел и др.) или оказывали на него влияние. При этом их философию неизменно отличало стремление решать проблемы познания “в духе науки”, хотя это были проблемы, которые не поддаются в целом точному и однозначному анализу, а потому и не могут считаться проблемами самой науки.
Всего ближе философскую составляющую в пространстве научного познания представляют логика и методология науки. Говорят, что методология – это отчасти наука, отчасти ремесло и отчасти мифология. Наука, поскольку методология опирается на факты, аксиомы и принципы науки. Ремесло, поскольку методология – это профессиональное занятие методологов. Мифология, поскольку методология в целом – это система взглядов, опирающаяся в значительной части на “спекулятивное” мышление, обременённое “трансцендентным”.
Я не стану раскрывать содержание всех этих аспектов методологии. Но, говоря об отношении науки и метода, я хочу привести обширную цитату из давней статьи французского учёного и методолога Жана Луи Детуша, очень ясно обрисовавшего суть этого отношения: SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“В науке любая действительно важная проблема возникает как проблема метода. В самом деле, если для проблемы, которую нам предстоит решить, метод уже известен, тогда достаточно применить к ней этот метод, и поиск решения сведётся к чисто технической задаче. Напротив, если метод решения нам неизвестен, необходимо прежде всего найти именно метод. Тогда проблема решения становится методологической проблемой. Сам метод может быть техническим элементом науки, о которой идёт речь. Но он может включаться и в более общие рамки. К примеру, есть арифметические проблемы, метод решения которых лежит за пределами самой арифметики и принадлежит к области анализа. Все такие методы являются частью какой-либо отдельной науки. Но если мы рассматриваем проблемы более общие, относящиеся к научному познанию вообще (а не только к частным проблемам какой-то одной дисциплины), то вопросы методологического порядка на этот раз выходят за рамки какой-либо отдельной науки. Это будут методы, отвечающие на те вопросы, которые принадлежат к компетенции методологии. При этом можно различать, с одной стороны, общую методологию, пригодную для всех наук, и, с другой стороны, методологию, свойственную каждой наукеSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”.
К сказанному остаётся прибавить важную мысль Вернадского (впрочем, согласующуюся с мыслью, приведённой выше), что научное мировоззрение, равным образом как и всякое иное, не является синонимом истины, и что в основе научного мировоззрения лежит именно метод научной работы .
Глава 1. Интервал абстракции как проблема методологии

Педантичность во многом противоположна
игре словами.
(Стивен Бар, “Топологические Эксперименты”)
В моих статьях так часто встречается выражение “интервал абстракции” без явных претензий на определение, что это лингвистическое новшество можно принять как весёлую игру словами, придуманную лишь для того, чтобы запутать читателя. Между тем, у того, кто придумал это выражение, намерения были самые серьёзные. А придумали его – Феликс Лазарев и я в 1960 году в совместной статье, которую мы тогда же предложили журналу “Вопросы философии”. Эта статья не была напечатана по основанию действительно весьма забавному: редакция попала в ситуацию “буриданова осла”— половина рецензентов хвалила одну половину статьи, но порицала другую; другая половина рецензентов поступала в точности наоборот.
С тех пор Лазарев и я, каждый по-своему, старались внедрить это выражение в тезаурус научных понятий, оставляя за собой право действовать вполне самостоятельно, хотя в частых совместных беседах мы были единодушны в признании его полезности и постоянно работали над его содержанием, чтобы уяснить хотя бы для самих себя некоторые проблемы теории познания, которые нам тогда казались особенно важными. Справедливости ради отмечу, что наш философский интервальный анализ зародился за шесть лет до того, как вышла первая монография по интервальной математике, которая сделала “интервал” основным предметом теории . Только речь в ней шла, конечно же, не об интервалах абстракции.
Увы, как я теперь вижу, ввести эвристически ценное философское понятие легче, чем претворить в теоретическую разработку соответствующую ему идею. Ведь осуществление такой идеи похоже на цепную реакцию, когда приходится “передумывать” многие другие, уже привычные, понятия. Более того, философские идеи редко поддаются прямой “аппаратной реализации”, и философия не принадлежит к дисциплинам, методы и понятия которых пригодны для такой реализации. Но при любом начинании научных изысканий полезно всё же помнить слова Пьера Бейля, что точное и полное объяснение самого ничтожного предмета обязательно ведёт к высшей метафизике, а метафизика, как выразился уже другой учёный, может быть лучше и полнее всего определена как изучение главных абстракций человеческого ума .
В известном смысле теория интервала абстракции сравнима с аналитической теорией языка. Целью последней является выявление “типовых” структур предложений, их элементов и возможных отношений этих элементов. Цель первой – выявление типовых структур методов абстрагирования, их элементов и отношений между этими элементами. Идея интервала абстракции – это идея философского осмысления онтологических и гносеологических предпосылок неуниверсальности абстрактных моделей. При этом понятие интервала абстракции помогает оценить и выявить эти структуры с наибольшей полнотой, поскольку именно “интервальность” лежит в их основе.
1.1. Интервал абстракции. Между тем, указанная выше трудность определения этого понятия, по-видимому, вполне объективная и относится к тому случаю употребления понятий, когда бывает необходимо оставаться, так сказать, “контролируемо неточным” (Ст. Бар). А это случается даже в точных науках, таких, скажем, как математика.
И хотя, как отметил Кант, SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“и в метафизике, и в других науках можно многое с достоверностью сказать о предмете, не давая его дефиницииSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12” , тем не менее любая, в том числе и контролируемая, неточность или неопределённость понятия должна быть как-то восполнена контекстом изложения. Применительно к понятию “интервал абстракции” таким восполнением может служить только объяснение его “появления на свет”.
Итак, начну с того, что интервальная концепция сложилась прежде всего на фактах независимости в мире событий и явлений. Можно предположить, что с понятия о независимости вообще начинается современная наука. Припомним хотя бы историю с доказательством независимости пятого постулата (Евклида), историю с постулатом о независимости от той или иной инерциальной системы отсчёта основных законов механики (принцип относительности Галилея), доказательство независимости скорости света от скорости движения источника света (опыт Майкельсона – Морли).
Эти и другие примеры преподают для философии следующий урок: постулат диалектической философии о всеобщей связи явлений, о том, что каждая SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“вещь (явление, процесс etc.) связаны с к а ж д о йSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”, необходимо отбросить как теологический, заменив его научно обоснованным утверждением о существовании независимых явлений. Отсюда, как следствие, SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“одной из важнейших задач философии естественных наук... является выяснение и уточнение тех предпосылок, при которых можно какие-либо данные действительные явления рассматривать как независимыеSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”.
Почти сорок лет назад, когда Ф.В. Лазрев и я продумывали концепцию интервальной теории познания, мы сформулировали шуточный принцип этой теории: “всё, что можно оторвать, должно быть оторвано, не следует отрывать того, чего нельзя оторвать”. Я думаю, этот принцип совершенно ясен тому, кто принимает абстракцию не только как метод намеренно неполного знания, но и как единственно доступный нам метод исчерпывающего “познания по частям”. Но для этого необходима гипотеза объективной независимости явлений.
В интервальной концепции эта гипотеза оформилась в логический постулат посторонней посылки: прибавление или удаление посторонней посылки не изменяет следствия. При этом вопрос о доказательстве постороннего уточняется следующей теоремой: “Если С является следствием в контексте событий АSYMBOL 38 f "Symbo" s 12&В и в контексте событий АSYMBOL 38 f "Symbo" s 12&SYMBOL 172 f "Times New Roman" s 12¬В, то С является независимым от событий В и SYMBOL 172 f "Times New Roman" s 12¬В, а последние, соответственно, – посторонними по отношению к событию С “.
Справедливости ради напомню, что эта теорема уже была указана Ст. Джевонсом под именем “отвлечение безразличных обстоятельств”, хотя, размышляя над интервальным смыслом процесса абстракции, я открыл её для себя независимо от Джевонса, придав ей ещё иную форму логического закона:
((А SYMBOL 38 f "Symbo" s 12&В SYMBOL 201 f "Symbo" s 12ЙС) SYMBOL 38 f "Symbo" s 12& (А SYMBOL 201 f "Symbo" s 12ЙС))SYMBOL 201 f "Symbo" s 12Й(А SYMBOL 38 f "Symbo" s 12&SYMBOL 216 f "Symbo" s 12ШВ SYMBOL 201 f "Symbo" s 12Й С) .
По существу эта вторая форма закона посторонней посылки формально воспроизводит неформальную мысль Аристотеля: “присутствие или отсутствие чего незаметно, не есть часть целого”.
Как нетрудно заметить, теорема о посторонней посылке (при отсутствии закона ex faso sequitur quodibet) очень естественно локализует противоречие как средство дедукции, указывая на его посторонний характер по отношению к следствиям из действительных посылок. В самом деле, имея противоречие и получив вывод В из SYMBOL 71 f "Symbo" s 12G (при любых непротиворечивых SYMBOL 71 f "Symbo" s 12G и В), мы можем преобразовать этот вывод в два других с посылками SYMBOL 71 f "Symbo" s 12GSYMBOL 38 f "Times New Roman" s 12&А в одном и SYMBOL 71 f "Symbo" s 12GSYMBOL 38 f "Times New Roman" s 12&SYMBOL 172 f "Times New Roman" s 12¬А в другом, что вернёт нас к исходному пункту, подтвердив (в силу теоремы о посторонней посылке), что мы не извлекли из допущенного противоречия никакой новой информации. С другой стороны, имея противоречие и построив два аналогичных вывода, мы отбросим оба члена противоречия как посторонние посылки.
В методологическом плане, решение вопроса о посторонних свойствах обеспечивает обоснованность абстракции при решении определённой задачи, когда этот вопрос ставится по отношению к целям и методу абстракции. Но так как в разных условиях эти цели и методы могут быть различными, мы не должны увлекаться ни абсолютной релевантностью тех или иных свойств, как это делала схоластическая философия, ни их абсолютно посторонним характером. Всегда полезно иметь в виду их интервальную относительность.
Тем не менее, выяснение того, какие из многочисленных свойств объекта являются посторонними – это по существу главный вопрос абстракции: пренебречь можно только посторонним, но посторонним необходимо пренебречь, как в гносеологическом контексте, когда просто SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“мешают трудности, не относящиеся к делуSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12” , так и в семиотическом контексте “установления и прослеживания связей”, когда речь идёт об обосновании научной теории .
Очевидно, что этот главный вопрос не совпадает с традиционным философским вопросом о существенных и несущественных свойствах хотя бы потому, что отвлечение от постороннего предполагает направленность внимания не на объект сам по себе, а на его роль в определённой гносеологической ситуации, когда явно фиксируются цели, средства и объективные условия для области значения абстракции. Вопрос о границах этой области не всегда допускает априорный ответ. Но он естественно приводит к вопросу об интервале абстракции – либо как количественной характеристике меры свободы отвлечения, либо как меры информационного содержания абстракции, совпадающего с набором общих свойств класса её возможных моделей. Таков, в частности, случай основных абстракций какой-либо формальной теории, которые очерчивают и замыкают круг возможных моделей этой теории, независимо от их онтологического статуса и индивидуальных особенностей, хотя обычное осмысление теории, включая её аксиомы и прочие принципы, идёт, как правило, иным путём – путём интерпретации этой теории в заведомо данных моделях. Типичный пример – осмысление решений обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных как законов природы посредством предварительного выбора “краевых условий”.
Вопросы о релевантном и постороннем, об общности и интервале абстракции нередко решаются одновременно. Например, обобщение законов движения на область электромагнитных явлений “переводит” фактор конечности скорости материальных взаимодействий из постороннего (для классической механики) в релевантный (для релятивистской механики), чем одновременно уточняются и границы применимости (интервал) абстракций классической механики и, в частности, интервал её гносеологической точности . При этом отношение между этой теорией и её моделями определяется метрической организацией опыта, поставляющего эти модели, а экстраполяция её абстракций на новые (другие) модели требует, в свою очередь, улучшения измерительной техники, что рано или поздно приводит к границам экстраполяции.
Разумеется, когда я связываю понятие интервала абстракции с понятием граничных условий, я имею в виду не те границы, которые обнаруживаются после того, как в процессе применения абстракции (обычно экстраполяции) для неё обнаруживается контрпример. Нет, я имею в виду прежде всего тот случай, когда границы абстракции можно заведомо предусмотреть, когда информация об этих границах представлена теоретически или может быть выявлена одним логическим анализом абстракции, как, например, в случае распознавания области определения функции по одному только аналитическому выражению этой функции. Только такие границы, по определению, я называю интервалом абстракции, придавая таким образом этому понятию собственно информационный смысл.
Можно предположить (впрочем, без явной уверенности), что понятие интервала абстракции в этом смысле родственно гегелевскому понятию “абстрактное значение”, которое в самом себе обладает завершённостью и выражает своего рода “долженствование” собственной реализации, требование объективировать своё субъективное значение. Переход к модели абстракции, её интерпретация – это и есть такое объективирование.
Конечно же, данное толкование термина “интервал абстракции” не единственное. Лазарев, например, склонен придавать этому термину онтологический смысл, называя интервалом абстракции SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“объективные границы, определяющие рамки однозначной применимости той или иной абстракцииSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”. Однако такое понимание интервала абстракции ничем по существу не отличается от его толкования как области истинности абстракции, а все разговоры о границах истинности абстракции до интервального подхода к этой проблеме ограничивались именно этим и не касались вопроса определённости абстракции на области её значений. Между тем, не одно и то же, идёт ли речь об области истинности абстракции или об области её значений. Здесь та же трудность редукции, как и в случае экстенсионала и интенсионала понятия.
Пусть, например, теория задана двумя абстрактными условиями:
1. SYMBOL 34 f "Symbo" s 12"х SYMBOL 172 f "Times New Roman" s 12¬ (хSYMBOL 82 f "Times New Roman" s 12Rх),
2. SYMBOL 34 f "Symbo" s 12"х SYMBOL 34 f "Symbo" s 12"уSYMBOL 34 f "Symbo" s 12"z (хSYMBOL 82 f "Times New Roman" s 12Ry SYMBOL 38 f "Times New Roman" s 12& ySYMBOL 82 f "Times New Roman" s 12Rz SYMBOL 201 f "Symbo" s 12Й xRz),
где R – это имя некоторого отношения, а переменные x, y, z пробегают некоторый класс объектов (универсум возможной модели теории).
Ясно, что в этом случае ни подразумеваемый класс, ни названное отношение не определены однозначно и, следовательно, речь здесь не может идти об однозначности интервала абстракции в его онтологическом смысле. Анализируя подробнее систему аксиом 1 и 2, нетрудно убедиться, что она описывает класс синтаксически неразличимых отношений порядка. Но мы можем пойти значительно дальше в исследовании того, что нам доступно только “изнутри” этой системы. Так, обе аксиомы a priori говорят, что отношение R не может быть отношением тождества, эквивалентности, различия или нестрогим порядком. Следовательно, если универсум возможной модели не пуст, то он не может быть одноэлементным. Но утверждать, что этот универсум содержит только два элемента или что число элементов больше двух, вообще говоря, тоже нельзя – их по меньшей мере два. Добавление новых различных элементов сохраняет истинность аксиом. Но она сохранится и в том случае, если новые элементы (например, начиная с третьего) мы станем отождествлять (не различать) с любыми из уже известных. Такого рода отождествления, разумеется, не определены заранее, их произвольный характер допустим лишь до тех пор, пока мы находимся внутри интервала абстракции. Но когда определённая онтология для абстракции выбрана, разрешаются уже не любые отождествления.
Из сказанного непосредственно и опять-таки a priori вытекает некатегоричность приведённой выше системы аксиом. Эта информация заключена внутри самой системы (теории), хотя, оставаясь исключительно в рамках теории, нельзя привести ни одного примера неизоморфизма её возможных моделей: любые попытки построения таких моделей требуют обращения к каким-либо внешним фактам, выходящим за границы абстракции. Теория указывает только на возможность их существования. Над интервалом абстракций данной теории её модели могут быть конечными или бесконечными, но внутри интервала абстракций нет средств, различающих мощности её моделей.
Тем не менее, это не означает, что аксиомы нашей формальной теории нельзя рассматривать как высказывания пока они не сопоставлены с некоторой моделью. Аксиомы представляют собою абстракции, это верно. Но это не понятия с пустым объёмом. Их априорное содержание указано выше. А потому, с точки зрения, обусловленной интервалом абстракции, уже нельзя сказать, что SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“особенность понятия формальной теории в том, что здесь нет никакого базового множестваSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12”, что это SYMBOL 171 f "Times New Roman" s 12“некоторые аксиомы, заданные “ни на чём”, аксиомы в чистом видеSYMBOL 187 f "Times New Roman" s 12” . Правда, базовым множеством нашей теории является не одно, а класс множеств, индивидуация элементов которого не выходит за рамки фиксированного интервала абстракции.
Такой “подход от абстракции” к онтологии понятия “мир” делает относительным противопоставление действительного мира возможным мирам, поскольку сама онтология оказывается функцией наших гносеологических установок. Вместе с тем на этом примере, по моему, ясно, почему и в каком смысле понятие “универсум теории” является гносеологическим понятием и почему вообще имеет смысл говорить об универсуме теории независимо от понятий “универсум структуры” или “универсум модели”, хотя в естественных науках такое разделение универсумов не принято, поскольку “картины мира” здесь обычно всецело определяются как образы той или иной теории. Но в логике мы редко встречаем такую “информационную однозначность”.
Рассмотренное выше понятие об интервале абстракции определяется, как легко заметить, не объективными условиями “восхождения” от конкретного к абстрактному, а только собственной логикой абстракции, которая отражается в её синтаксической или смысловой структуре. Но именно это обстоятельство и позволяет естественным образом заявить об абсолютном гносеологическом содержании абстракций, которое, говоря словами Лобачевского, будучи однажды приобретённым, сохраняется навсегда. Кроме того, термин “интервал абстракции” в таком его истолковании приобретает известную эвристическую ценность, характеризуя содержание абстракции как некоторое требование, “вынуждающее” если и не сами модели, независимые от абстракций, то весьма общие “модельные условия”, в которых отражается замысел абстракции.
Вместе с тем, учитывая, что осмысленность абстракции обычно связывают с её эмпирической применимостью, каждую модель абстракции естественно рассматривать как элементарное событие реализуемости этой абстракции, а полную информацию, содержащуюся в абстракции, связывать не с выбором одного события из многих возможных, а с выбором всех таких возможных событий. Тогда интервал абстракции естественно мыслить как сумму информаций, заключённых в отдельных событиях, а класс всех возможных моделей абстракции – как объём этого понятия. И хотя такое толкование, вообще говоря, отличается от приведённого выше, отличие это не столь уж существенно в том (особенно важном) случае, когда для той или иной абстрактной теории можно доказать теорему о представлении или когда имеются достаточные основания для веры в такую возможность, как это обычно бывает при неформальном и интуитивном употреблении понятий.
Вторая основная идея, из которой выросла интервальная концепция, – это идея относительности. И здесь опять пришлось вступить в противоречие с главной чертой диалектического метода: объективность рассмотрения – это “вещь сама в себе”. При этом невозможно было обойти молчанием замечание Эйнштейна о том, чт&heip;