Интеллектуальные развлечения. Интересные иллюзии, логические игры и загадки.

Добро пожаловать В МИР ЗАГАДОК, ОПТИЧЕСКИХ
ИЛЛЮЗИЙ И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ РАЗВЛЕЧЕНИЙ
Стоит ли доверять всему, что вы видите? Можно ли увидеть то, что никто не видел? Правда ли, что неподвижные предметы могут двигаться? Почему взрослые и дети видят один и тот же предмет по разному? На этом сайте вы найдете ответы на эти и многие другие вопросы.

Log-in.ru© - мир необычных и интеллектуальных развлечений. Интересные оптические иллюзии, обманы зрения, логические флеш-игры.

Привет! Хочешь стать одним из нас? Определись…    
Если ты уже один из нас, то вход тут.

 

 

Амнезия?   Я новичок 
Это факт...

Интересно

Катание на горных лыжах в Швейцарии ввел английский писатель сэр Артур Конан Дойл (1859–1930) в 1893 году.

Еще   [X]

 +264 

Шрифт: A A A

Красота математических поверхностей

Красота математических поверхностей: Рис.1

Все, разумеется, строили в школе графики, до невозможности проклиная училку по геометрии. Так вот, если кто-то помнит, то впервые с понятиями бесконечности в изображении графиков фукнций народ столкнулся ещё там, когда описывался простейший график в виде прямой, бесконечной по протяженности. Следом за ней пошла гипербола - график функции y = 1/x, бесконечно приближающаяся к осям координат.

Но мозгу здорового человека довольно трудно представить себе график, который состоит из бесконечности, пронизывая всё пространство на плоскости, и рисунок которого можно увеличивать без остановки.

В математике есть такие графики, называются они фракталами.

Красота математических поверхностей: Рис.2

Описать структуру фрактала можно на примере береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако при приближении у кривой появляются другие неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая никак не исчезает. На той же основе и были созданы фрактальные графики. Вчастности, на рисунке слева приведен пример кривой Коха, самой простой из всех фрактальных функций.

Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Фракталы бывают нескольких типов

Самые простые из них - геометрические, как кривая Коха. Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох [3]. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. кривой Коха) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На примере было изображено пятое поколение кривой. При функции, где n>?, изображение начинает уходить в ту степь, куда не ступала нога человека: в бесконечность.

Самая крупная группа фракталов - алгебраические.

Красота математических поверхностей: Рис.3

Самое известное из них - множество Мандельборта, самое красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то что-то это скажет, формула множества Мандельброта записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

ХОРОШО, ХОРОШО!!! Я понимаю, тошнит уже от науки. Не волнуйтесь, сейчас будет и красота. Вот, взгляниет на множество Мандельборта в натуре, увеличение в 0 раз:

Красота математических поверхностей: Рис.4

А ВОТ СЕЙЧАС НАЧНЁТСЯ ВОЛШЕБСТВО

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут программы, в зависимости от желаний можно создать самые различные изображения, цветные, непонятные, шокирующие. Вот, например, несколько вариаций того же множества:

Красота математических поверхностей: Рис.5

А вот версия Мандельброта, если график разместить в трёхмерном пространстве:

Красота математических поверхностей: Рис.6

И не стоит думать, что там, где изображения не видно, око якобы кончается. Напротив: оно продолжается везде, нужно тлько правильно задатьпредел интеграции и иметь достаточно мощный микроскоп. Но при любом увеличении всегда можно сказать, что множество находится везде и нигде одновременно.

А вот область множества Мандельброта, увеличенная в несколько тысяч раз (!).

Красота математических поверхностей: Рис.7

Вот еще несколько рисунков фрактальных поверхностей

Красота математических поверхностей: Рис.8

Красота математических поверхностей: Рис.9

Красота математических поверхностей: Рис.10

Посмотреть фрактальные поверхности в анимации (и убедиться, что фрактал бесконечный) можно на сайте images.beggerlybend.com (открывается в новом окне)

А на сайте www.ocf.berkeley.edu вы найдете алгоритмы и формулы для самостоятельного построения поверхностей.

Dmitry

опубликовать на FaceBook
← Назад?       Случайная заметка       Похожая       Вперед! →

10 комментариев (в архиве — 17 комментариев)  

0
svzuvszbgtz

99l5zK unuiwzprcnfd

0
awckjynf

GE8DYU kxlutklrvogv

0
Wilhelmina

I thuoght finding this would be so arduous but it's a breeze!

0
Альфия

Каков практический смысл изучения фракталов?

0
Виктор Карпов

По-моему, трехмерные фракталы не такие красивые, как двумерные — не понятно только почему.

0
StaticTime

Всегда любила математику=)) Одна из самых замечательных наук,как и физика=) Данный обзор только подтверждает ее величие

+1
я

А Я ВИДЕЛА ФИЛЬМ ПРО ФРАКТАЛЫ.ТАМ ЧЁТ ГОВОРИЛИ,ЧТО НА ИЗУЧЕНИЕ ОДНОГО ФРАКТАЛА МОЖЕТ УЙТИ МИЛЛИОНЫ ЛЕТ!

0
Сергей32

я: Фрактал невозможно изучить до конца. Он - бесконечность)

0
Виктор Карпов

я: Эмм.. Что это за фильм? Кстати, есть отличный фильм, по-моему, называется «Множество Мандельброта и Сознание», в тему к необычному применению фракталов и там где они используются. Аннотация: «Каждый фрактал разбивается на бесконечно малые частицы, но при это всегда будет отражать все целое…Когда один фрактал меняет свой узор общая суммарность всего узора меняется вместе с ним… Это иллюстрирует что не нужно пробуждать весь мир.. Нужно изменить себя!»

+1
фы

ыыы

Отпишись
Ваш лимит — 2000 букв

Включите отображение картинок в браузере  →