»нтеллектуальные развлечени€. »нтересные иллюзии, логические игры и загадки.

ƒобро пожаловать ¬ ћ»– «ј√јƒќ , ќѕ“»„≈— »’
»ЋЋё«»… » »Ќ“≈ЋЋ≈ “”јЋ№Ќџ’ –ј«¬Ћ≈„≈Ќ»…
—тоит ли довер€ть всему, что вы видите? ћожно ли увидеть то, что никто не видел? ѕравда ли, что неподвижные предметы могут двигатьс€? ѕочему взрослые и дети вид€т один и тот же предмет по разному? Ќа этом сайте вы найдете ответы на эти и многие другие вопросы.

Log-in.ru© - мир необычных и интеллектуальных развлечений. »нтересные оптические иллюзии, обманы зрени€, логические флеш-игры.

ѕривет! ’очешь стать одним из нас? ќпределись…    
≈сли ты уже один из нас, то вход тут.

 

 

јмнези€?   я новичок 
Ёто факт...

»нтересно

¬ —Ўј на каждого человека приходитс€ в среднем по две кредитные карточки и по 2 радиоприемника.

≈ще   [X]

 +49 

Ўрифт: A A A

ћатематическое описание невозможных фигур

Ќ≈¬ќ«ћќ∆Ќџ≈ ‘»√”–џ Ц ѕќ–Ќќ√–ј‘»я ¬ »— ”——“¬≈

—о времени выхода в британском журнале психологии статьи –оджера и Ћайонела ѕенроузов о невозможных фигурах (1958 год) было напечатано множество подобных материалов, а еще больше вс€ческих невозможных фигур было нарисовано, как до по€влени€ статьи, так и после ее опубликовани€. ¬ насто€щее врем€, наверное, уже не возможно собрать все эти фигуры в одном месте. ƒа, и по€вл€ютс€ новые невозможные фигуры буквально каждый день. —ейчас даже не возможно установить с абсолютной надежностью, что только нарисованна€ в данный момент фигура €вл€етс€ действительно новой, а не вариантом уже давно где-то кем-то нарисованной невозможной фигуры.

”читыва€, сложившуюс€ ситуацию в рассматриваемой сфере человеческого творчества и, что бы не тратить врем€ читател€ на просмотр информации с большой веро€тностью, не €вл€ющейс€ дл€ него новой, в этой статье не привод€тс€ традиционные широко известные невозможные фигуры типа невозможного треугольника, бесконечной лестницы и т. п. ƒействительно очень трудно представить себе человека, который за всю свою жизнь ни разу не видел изображени€ невозможного треугольника. ≈сли все же такой человек найдетс€, то он без особого труда сможет ознакомитьс€ с этими невозможными фигурами и без этой статьи, да и, скорее всего этому человеку и эту статью читать не надо.

Ќесмотр€ на значительное количество публикаций о невозможных фигурах их четкого определени€ по существу не сформулировано. ћожно прочесть, что к невозможным фигурам относ€тс€ все оптические иллюзии, св€занные с особенност€ми нашего воспри€ти€ мира. — другой стороны человек может показать ¬ам фигуру человека зеленого цвета или с дес€тью руками и п€тью головами и сказать, что все это невозможные фигуры. ѕри этом он будет по своему прав. ¬едь людей зеленого цвета с дес€тью ногами не бывает. ѕо этому в данной статье под невозможными фигурами будут пониматьс€ плоские изображени€ фигур воспринимаемые человеком однозначно, как они нарисованы без воспри€ти€ человеком каких бы то ни было дополнительных, фактически не нарисованных изображений или искажений и которые не возможно представить в трехмерном виде. Ќевозможность представлени€ в трехмерном виде понимаетс€, конечно, только непосредственна€ без учета возможности применени€ специальных средств при изготовлении невозможных фигур, т. к. всегда невозможную фигуру можно изготовить, применив хитроумную систему прорезей, дополнительных поддерживающих элементов и изгибани€ элементов фигуры, а затем сфотографировав ее под нужным углом.

“аким образом, в данной статье не рассматриваютс€ фигуры людей зеленого цвета с п€тью головами и фигуры подобные таким, так же не рассматриваютс€ чисто оптические иллюзии.

ѕриведенное здесь определение невозможных фигур, да и другие известные определени€ не дают четкого ответа на вопросы: „ем же все же принципиально отличаетс€ невозможна€ фигура от всех прочих? „то нужно об€зательно сделать, что бы нарисовать именно невозможную фигуру? „исто интуитивно мы конечно практически без ошибок классифицируем фигуры, но это все происходит примерно на том же уровне, как мы раздел€ем людей по внешности с первого взгл€да на при€тных и на непри€тных. —уществует множество описаний способов и инструкций получени€ невозможных фигур, но все они нос€т все же не общий характер, а частный и применимы лишь к отдельным видам невозможных фигур или к фигурам, составл€емым из отдельных строго определенных элементов.

ƒл€ получени€ общего всеобъемлющего ответа на поставленные вопросы необходимо получить чисто математическое описание в общем, виде любой невозможной фигуры.

¬ статье "“очечна€ графика: запись математической формулой" было предложено универсальное уравнение способное описать практически любой объект или его изображение. ”равнение представл€ет собой сумму выражений:

[xi/x]*[x/xi]* [yi/y]*[y/yi]* [zi/z]*[z/zi]*t, где:

  • x, y, z - текущие координаты в трехмерном пространстве;
  • xi, yi, zi Ц координаты i-ой точки объекта;
  • t Ц число, задающее цвет i-ой точки объекта, например код в системе RGB;
  • [ ] Ц знак, обозначающий целую часть числа.

ќбщее количество слагаемых в уравнении определ€етс€ максимальным значением i или количеством точек, на которые разбит описываемый объект. ѕри подстановке в уравнение значений координат x, y, z все врем€ будут получатьс€ нули, пока координаты не совпадут с координатами xi, yi, zi какой либо точки объекта и тогда будет получено значение t.

ѕоскольку предложенное универсальное уравнение способно описать практически любой объект, то нет ни каких преп€тствий дл€ описани€ при помощи универсального уравнени€ и невозможных фигур. –ассмотрим такое описание на примере простого объекта состо€щего всего из двух точек красного и синего цвета. «ададим его уравнением:

q=[5/x]*[x/5]*[2/y]*[y/2]*[7/z]*[z/7]*255001001+ < точка красного цвета

+[5/x]*[x/5]*[9/y]*[y/9]*[7/z]*[z/7]*001001255 < точка синего цвета

ѕри последовательной подстановке в это уравнение x, y, z соответственно их значений от нул€ до бесконечности дл€ построени€ проекций точек на плоскости (xz) и (yz) мы ничего необычного не заметим, но стоит нам изменить на обратный пор€док подстановки значений x, y, z, т. е. от бесконечности до нул€ мы увидим, как это показано на приведенной ниже схеме, что, на проекции на плоскость (xz) вперед вышла точка красного цвета, что в трехмерном представлении невозможно без фактического изменени€ расположени€ точек. ѕри этом проекци€ на плоскость (yz) выгл€дит нормально и точка синего цвета, отсто€ща€ от начала координат на 9 единиц по оси y, находитс€ ближе к наблюдателю, чем точка красного цвета, отсто€ща€ от начала координат по оси y на 2 единицы согласно уравнению. ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.1

“аким образом, проекци€ на плоскость (xz) представл€ет собой невозможную фигуру.  онечно, с чисто художественной точки зрени€ проку от такой невозможной фигуры мало. ѕо этому такие фигуры и не рисуют. Ќет зрелищности. ќднако, эта фигура замечательна тем, что €вл€етс€ элементарной и из подобных фигур теоретически можно собрать любую более сложную и зрелищную невозможную фигуру. “очно так же как любое изображение (объект) можно представить в виде набора точек.

–ассмотренный пример позвол€ет сформулировать следующее необходимое и достаточное условие дл€ получени€ произвольной невозможной фигуры: ѕри формировании невозможной фигуры в виде проекции объекта на плоскость необходимо полностью или часть точек объекта вывести в обратной последовательности, т. е. самые близкие точки объекта к наблюдателю первыми, а самые дальние от наблюдател€ точки последними.

“аким образом, при рисовании невозможной фигуры, мы осознанно или неосознанно, делаем все неправильно и наоборот, и в этом смысле невозможные фигуры можно назвать порнографическими.  онечно, при этом слово порнографи€ использовано в переносном своем значении, не усматриваетс€ никакого эротического содержани€ в фигуре и, не имеютс€ в виду невозможные фигуры изображающие непристойное выполнение полового акта.

„итать о картинках конечно интересно, но еще интереснее их рассматривать и в данном случае в полной мере применимо правило: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. ѕоэтому перейдем к рассмотрению использовани€ сформулированного выше услови€ на примерах конкретных картинок.

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.2 ¬озьмем в качестве исходного объекта обычный спичечный коробок. —оздадим его трехмерную модель c помощью обычного графического редактора, и, следу€ сформулированному условию при выведении проекции этого коробка точки, формирующие одну из сторон этого коробка (самую дальнюю дл€ наблюдател€) выведем поверх всех остальных точек изображени€. ¬нимательно рассмотрев получившуюс€ в результате фигуру можно без труда прийти к выводу, что в трехмерном пространстве така€ фигура невозможна, т. е. применение, сформулированного выше услови€ привело к созданию невозможного спичечного коробка.

Ќеобходимо отметить, что хот€ применение необходимого и достаточного услови€ получени€ произвольной невозможной фигуры при построении проекции практически любого трехмерного объекта приводит к созданию невозможной фигуры нагл€дность (заметность) этого все же зависит от точки просмотра этого объекта (угла под которым он проецируетс€ на плоскость). Ёто утверждение хорошо иллюстрируют, приведенные ниже два рисунка.

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.3

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.4

Ќа обоих рисунках проекции левых коробков были сформированы в нормальном правильном режиме, а проекции правых коробков были получены полностью путем выведени€ точек изображени€ коробков в обратном пор€дке, т. е. ближние к наблюдателю точки выводились первыми, а дальние последними. ¬ результате дальние от наблюдател€ точки полностью закрыли ближние к наблюдателю точки изображени€.  роме этого нижний рисунок был получен путем поворота трехмерной модели первого примерно на 45 градусов, что позволило изменить угол проецировани€ коробков и стола на плоскость.

ќба рисунка представл€ют собой невозможные фигуры. ќднако заметить это на первом рисунке может только очень внимательный зритель по ненормальной интенсивности освещени€ коробков, а вот изменение угла проецировани€ дл€ второго рисунка обеспечило нагл€дность его невозможности в трехмерном представлении.

¬ некоторых случа€х более заметным невозможность представлени€ в трехмерном виде, изображенных на плоскости предметов делает размещение р€дом других объектов или разметок, как это можно наблюдать на размещенном ниже рисунке.

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.5

“ак же невозможность изображени€ может подчеркиватьс€ тен€ми и интенсивностью освещени€. Ќа приведенном ниже рисунке, представл€ющем собой невозможную решетку из карандашей, ровное освещение поверхности карандашей и пр€мые ровные тени от карандашей однозначно нам подсказывают, что карандаши на рисунке изображены действительно проход€щими друг через друга, а не изогнутыми. ≈сли бы карандаши были изогнутыми, то фигура из них в принципе могла бы быть представлена в трехмерном пространстве.

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.6

Ёффект невозможности фигуры в большей степени заметен на не сплошных фигурах составленных из отдельных элементов (брусков, трубок, стержней и т. п.). ¬озможно, именно по этой причине большую часть невозможных фигур обычно набирают из отдельных элементов. ѕример такой "наборной" невозможной фигуры, созданной с использованием необходимого и достаточного услови€ получени€ произвольной невозможной фигуры, приведен ниже на рисунке:

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.7

ƒалее приведен целый р€д невозможных фигур, который показывает, что тип невозможной фигуры практически не вли€ет на применимость необходимого и достаточного услови€ получени€ произвольной невозможной фигуры.

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.8

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.9

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.10

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.11

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.12

Ќесколько отдельных разнотипных невозможных фигур в свою очередь могут объедин€тьс€ в одну. ѕри этом сложность такой невозможной фигуры может возрастать до бесконечности. ѕример подобной невозможной фигуры приведен на рисунке ниже.

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.13

ѕоследовательное применение необходимого и достаточного услови€ получени€ произвольной невозможной фигуры к кадрам анимации позвол€ет получать анимации невозможных фигур. Ќиже приведены примеры двух, таким образом, полученных анимаций. Ќа первой анимации обычный спичечный коробок превращаетс€ в невозможный и обратно при совершении вращательных колебании от 0 до 90 градусов и обратно. Ќа второй анимации конструкци€ из двух спичечных коробков совершает вращательные колебани€ от 0 до 180 градусов и обратно, а наблюдателю кажетс€, что только от 0 до 90 градусов. ѕри этом передние и задние (дл€ наблюдател€) стенки коробков периодически постепенно мен€ютс€ местами.

ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.14 ћатематическое описание невозможных фигур: –ис.15

ћожно отметить еще одну интересную особенность невозможных фигур. —читаетс€, что в плоском двумерном пространстве невозможна€ фигура реальна и не может быть реализована в трехмерном пространстве. ќднако невозможна€ фигура может быть реализована так же и в пространствах имеющих число измерений большее трех. ѕравда, така€ реализаци€ пока возможна только чисто математически в виде уравнений, описывающих невозможную фигуру. ¬едь пока только уравнени€ допускают одновременное размещение нескольких объектов в одном и том же трехмерном объеме и перевод отдельных объектов в разр€д фактически невидимых в отдельных пространствах или подпространствах.

ќписанна€ в насто€щей статье методика создани€ невозможных фигур позвол€ет получать невозможные фигуры из трехмерных моделей любых объектов практически в автоматическом режиме. »з сказанного так же следует, что количество невозможных фигур практически бесконечно. »спользование же той или иной невозможной фигуры ее распространенность будет зависеть исключительно от ее художественной ценности (зрелищности), уместности ее использовани€ в логотипе, знаке или рекламе.

јвтор: ј.ћ.Ѕелов

Dmitry

опубликовать на FaceBook
← Ќазад?       —лучайна€ заметка       ѕохожа€       ¬перед! →

9 комментариев (в архиве — 9 комментариев)  

0
ћилиса

классно!очень познавательно и интересно!это было нечто!

0
ћilisa 27 let

классно!очень познавательно и интересно!это было нечто!

0
јртем

ѕ–» ќЋ№Ќќ

0
ƒжахон

я читал подобное в книге "—корочтение"

0
—“≈ЋЋј

это компьютерна€ графика

0
€

прикольноо) мне нравитс€)

0
»горь

 Ћј——Ќќ

0
ќл€

ќчень познавательно!

0
ћилиса

ќл€: ты права.

ќтпишись
¬аш лимит — 2000 букв

¬ключите отображение картинок в браузере  →